Распределение Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

В схеме независимых испытаний при больших n, формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Задача, где рассматривается большое число n-независимых испытаний, а вероятность р- наступления события А в каждом испытании мала, может быть приближен вычислена вероятность P_n(m) по формуле Пуассона.

Теорема Пуассона: пусть вероятность события А при каждом испытании в серии из n-независимых испытаний =λ/n, где λ>0 –пост.независ. от n. Тогда вероятность P_n(m), при n→∞ и фикс. m, стремится к величине

-формула Пуассона

Т.к. в таких испытаниях p-мало, то распределение Пуассона называют законом распределения редких явлений.

P_n(m)=C_n^m*p^m*qⁿ~ =P_m(λ) - асимптотическая формула Пуассона

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Она устанавливает приближённую формулу для вычисления вероятности P_n(m).

Теорема: пусть вероятность события А в n-независимых испытаниях = р, (0<р<1), тогда вероятность P_n(m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m-раз удовлетворяет при n→∞ следующему соотношению:

x=

При больших n имеет место приближённая локальная формула Муавра-Лапласа.

P_n(m)~ (25)

(26)

Формула (25) даёт удовл.значение вероятности при достаточно больших значениях n, а также если р не слишком близка к 0 или 1 (эффективнее всего при р близких к 0,5). Функция формулы (26) –чётная ( = ), поэтому в прил. Приведены значения только для x>0.

Интегральная предельна теорема Муавра-Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

На практике при большом числе испытаний n и не слишком малой вероятности р важно оценить вероятность того, что число появлений события А лежит в некоторых границах. Эту оценку устанавливает интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема: пусть m-число наступлений события А в серии из n-независимых испытаний, р –вероятность наступления события А при каждом испытании (0<р<1), тогда вероятность P_n(m₁≤m≤m₂) того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ раз и не более m₂ раз, при n→∞ удовл. соотношению:

x₁= ; x₂=

При больших значениях m имеет место приближённая интегральная формула Муавра-Лапласа: P_n(m₁≤m≤m₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁) (27)

где Ф(х)=

Эта функция называется функцией Лапласа, ё называют интегралом ошибок, она нечётная Ф(-х)= - Ф(х).

Используется в приложении для отрицательных значений х.

Замечание: оценка погрешности при использовании формулы (27) показывает, что хорошая точность обеспечивается уже при значениях npq≥10.

Вероятностью того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события = р(0<р<1), абсолютная величина отклонения относительной частоты m/n появления события, от вероятности появления события, не привысит положительного числа ε и приближённо равна удвоенной функции Лапласа Х=ε

P(| |≤ε)=2Ф(ε