Напр.: комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока.

Билет 56)

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую, на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

,

где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

 

Билет 55)

Тригонометрической формой записи комплексного числа называют z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Сложение.

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

Умножение.

Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Билет 54)

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения:

z 1 + z 2 = z 2 + z 1

1. для любых .
2. Ассоциативность сложения:

(z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)

1. для любых .
2. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z + 0 = z

1. для любого z .
2. Для любых двух чисел z ₁ и z ₂ существует такое число z, что z ₁ + z = z ₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z ₂ – z ₁.
3. Коммутативность умножения:

z 1 z 2 = z 2 z 1

1. для любых .
2. Ассоциативность умножения:

(z 1 z 2) z 3 = z 1(z 2 z 3)

1. для любых .
2. Дистрибутивность сложения относительно умножения:

z 1(z 2 + z 3) = z 1 z 2 + z 1 z 3

1. для любых .
2. Для любого комплексного числа z:

z · 1 = z.

1. Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

Ко́мпле́ксные — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где и — вещественные числа, — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Билет 52

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

Билет 51)

РядТе́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

 

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

 

Билет 50)

Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

,

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

Билет 49)

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

 

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b). Она

называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек x1 и x2,

a<x1 <x2 <b, и любых чисел α1 > 0 и α2 > 0 таких, что α1+α2 = 1, выполняется

неравенство

f(α1x1 + α2x2) 6 α1f(x1) + α2f(x2). (2.12.1)

Если для функции f справедливо обратное неравенство, то функция f называется

выпуклой вверх.

 

Всякий интервал, на котором функция выпукла вниз или

вверх, называется интервалом выпуклости функции.

 

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Билет 48)

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если .

Билет 47)

Правило Бернулли-Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними

 

Билет 46)

Пусть – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой также является дифференцируемой функцией. Производная функции обозначается символическим выражением и называется второй производной (или производной второго порядка) функции :

Запись вида

позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:

 

Во многих задачах функция y (x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y (x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y' (x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
• Решить полученное уравнение относительно производной y' (x).

 

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Билет 45)

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Доказательство.
Функция f(x) постоянна на интервале [ а, b ]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

 

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [ а, b ] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

 

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

 

Пусть даны две функции и такие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда существует , для которой верно:

.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

Если х - независимая переменная и y = f(x) - дифференцируемая функция, то dx = f'(x)dx, т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Считая dx постоянной, получаем, что df(x) - функция одной переменной. Предположим, что функция у = f(x) имеет не только первую производную, но и n последовательных производных y" = f"(x), y’” = f”’(x).

Дифференциал от дифференциала функции у = f{x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y = d(dy), причем

Дифференциалом n-го порядка

Смотрите пример вычисления дифференциалов первого и второго порядков

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда

Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Билет 43

Если у есть неявная функция от х, т.е. задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно у'.

Пример. Найти производную неявной функции х²+у²-4х-10у+4=0.

Дифференцируя по х, получаем 2х+2у *у' -4-10у'=0. Выражаем у', имеем:

 

Функция задана параметрически, если зависимость функции y от аргумента x задана посредством параметра t:

Производная параметрической функции равна частному производных y и x, взятых по переменной t:

или в других обозначениях

 

Билет 42

Билет 41)

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

 

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

 

Билет 56)

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую, на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

,

где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

 

Билет 55)

Тригонометрической формой записи комплексного числа называют z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Сложение.

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

Умножение.

Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Билет 54)

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения:

z 1 + z 2 = z 2 + z 1

1. для любых .
2. Ассоциативность сложения:

(z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)

1. для любых .
2. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z + 0 = z

1. для любого z .
2. Для любых двух чисел z ₁ и z ₂ существует такое число z, что z ₁ + z = z ₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z ₂ – z ₁.
3. Коммутативность умножения:

z 1 z 2 = z 2 z 1

1. для любых .
2. Ассоциативность умножения:

(z 1 z 2) z 3 = z 1(z 2 z 3)

1. для любых .
2. Дистрибутивность сложения относительно умножения:

z 1(z 2 + z 3) = z 1 z 2 + z 1 z 3

1. для любых .
2. Для любого комплексного числа z:

z · 1 = z.

1. Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

Ко́мпле́ксные — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где и — вещественные числа, — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Напр.: комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока.

 

Форма записи z= x+iy комплексных чисел называется декартовой. Она равносильна представлению комплексных чисел, как точек плоскости в декартовой системе координат, где числу z= x+iy соответствует точка М с координатами (x; y).

Такое представление комплексных чисел называется геометрической интерпретацией комплексных чисел, а плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа – комплексной плоскостью.

Всякое комплексное число z=x+ i y можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+ i y (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0 i =х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+ i y.

Комплексное число z=х+ i y можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).

http://mathematics.uni-dubna.ru/matherials/arbuzova/ma/Lecture2-1.pdf

Билет 52

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

Билет 51)

РядТе́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

 

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).