Предел ф-и на беск-ти и в точке. Одностор пр-лы.

Пусть задана ф-я y=f(x), кот опр-на на мн-ве х. Пусть - пред точка мн-ва х. Выберем на мн-ве х произв посл-ть чисел , кот не совп-т с , сход к .

Вычислим значение функции в каждой точке:

О.1(по Гейне). Число А наз-ся пред-м ф-ции у=f(x) при

(или в т-е ), если для любой сходящейся последовательности(1) соответствующая последоват-ть значений ф-ции(2) сходится к числу А.

О.2(по Коши) Число А наз пределом ф-и y=f(x) при (или в т-е ), если для люб сколь угодно малого положит числа сущ такое число >0, завис от , что для всех х, удовлетв нер-ву , вып-ся нер-во

или

Число А наз левостор пределом ф-и y=f(x), если вып-ся условие:

Число А наз правостор пределом ф-ции y=f(x), если вып-ся условие:

Замечание: если в качестве =0, то левосторонний предел: или ;

Правосторонний:

или

23. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

О: Функция у = а(х) называется б.м. при х а, если

Функция называется б.б. при

если для любого числа М > 0 существует такое число зависящее только от М, что из неравенства

Следует неравенство

Символическая запись определения:

Между б.м. и б.б. функциями существует тесная связь.

24. Осн теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если , то .

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

Замечат пределы.

1-й замечат предел, или тригонометрич предел.

Теорема:

Док-во:

;

Очевидно:

sinx<=x<=tgx

Т.к.

; ;

Следствия из теоремы:

1. 2.

Второй замечательный предел:

Е-число Эйлера,

Если

26. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

Пусть у=f(x) задана в некотором множестве х, тогда функция называется непрерывной в точке , если , x x

т. е. функция f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, односторонние пределы существуют, являются конечными цифрами между собой и равны значению функции в этой точке.

Если у=f(x) непрерИвна в каждой точке множества х, то она непрерИвна на этом множестве.

Точки разрыва и их классификация.

Если условие непрерывности(*) не выполняется, то - точка разрыва.

Точки разрыва делятся на точки разрыва 1-ого рода, 2-ого рода и устранимые точки разрыва.