Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен

x+p/2=t dx=dt a²= или

IV

V. p²/4-q>0

p²/4-q<0

10. Интегрирование рациональных дробей

1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

Интегрирование простейших дробей

I. x-a=t dx=dt

II. x-a=t dx=dt

11 Определение опред. интеграла

Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].

Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_n-1<x_n=b обозн x₁,x₂,…x_n. Кажд частичный инт-л обозн ∆x₁=x₁-x₀, ∆x₂=x₂-x₁, ∆x_i=x_i-x_i-1, ∆x_n=x_n-x_n-1. В каждом частичном инт-ле ∆x_i, i= 1;n выберем т. и выч-м ﻉ _I, y=f(x), y=f( ﻉ ₁), f( ﻉ ₂), … f( ﻉ _i),… f( ﻉ _n) Cост-м произв-е f( ﻉ ₁)∆x₁, f( ﻉ ₂)∆x₂, … f( ﻉ _i)∆x_i,… f( ﻉ _n)∆x_n. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆x_i и высотой f( ﻉ _i).

О1. Сумма f( ﻉ ₁)∆x₁+ f( ﻉ ₂)∆x₂ + … f( ﻉ _i)∆x_i +… f( ﻉ _n)∆x_n=∑ f( ﻉ ₁)∆x₁ наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.

Обозн наиб. из разностей ∆x₁₌ x_i-x_i-1 через ОХ. Тогда имеет место определение 2.

О2. Сущ кон предел интегр ∑, т.е. f( ﻉ ₁)∆x₁ и он не зав-т от СП-ба разбиения инт-ла [a,b] и выбора точек ﻉ ₁ на частичных инт-лах ∆x_i, то этот предел наз опред интегралом ф. f(x) на [a,b] и обозн

Т. Для всякой непрер ф-и интеграл сущ.

А Геом. смысл опред. интеграла.

Опред интеграл опред-т точное зн-е S криволин тр-и.

 

12. Осн св-ва опред интеграла

Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Если , x? [a;b]

13. Формула Ньютона-Лейбница (вывод)

Т: Если непрерывна на , справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

Рассм-м , т.к. , то - первообразная для . Но , также первообразная. Это значит что имеет место следующее равенство:

Подставим верхнюю границу: подставами вместо : в силу 1-го свойства, что значении определенного интеграла независит от обозначения переменной интегрирования,запишем:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ф-я вида , где x наз интегралом c перем верхним пределом. Т: Если непрер на , то произв-я ф-и , сущ в каждой точке на , причем

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям для определенном интеграла.

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

Геометрич приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур:

1. на и

2. на и

3. на график имеет вид

4. даны две функции: и на промежутке

5. на промежутке то получаем

6. и на промежутке (графики ориентированны на )

А

7.вычисление площади плоской фигуры заданной системе координат. В полярной системе точка это пара чисел , любая линия равна .