Зависящей от времени – функции, зависящей от координат

спектрометр

 

На призму с дисперсией падает Плоская волна падает

волна с зависимостью на транспарант с

от времени . коэффициентом пропускания .

Призма преобразует Линза преобразует

время → частота, координата → волновое число,

, ,

амплитуда распределена амплитуда распределена

по углам. вдоль линии в фокальной плоскости.

 

 

, ,

 

Теоремы Фурье

 

Линейность преобразования

 

. (1.5)

 

Следует из линейности операции интегрирования в (1.1).

 

Масштабное преобразование аргумента функции

 

. (1.6)

Доказательство

В интеграле (1.1)

выполняем замену аргумента, результат сравниваем с (1.1):

 

.

 

Пример: Функция Гаусса

 

, .

 

При масштабном преобразовании с происходит сжатие по x в 2 раза (переход от сплошной линии к пунктирной), растяжение по k и уменьшение амплитуды в 2 раза.

 

Инверсия аргумента

 

Из (1.6)

при получаем

. (1.7)

 

Четности функции и ее фурье-образа совпадают:

если – четная функция , то и – четная функция;

если – нечетная функция , то и – нечетная функция.

Теорема о частотной полосе

 

, (1.8)

где дисперсии

; .

 

Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению частотной протяженности ее образа, и наоборот, как показано на рисунке.

 

 

Для функции Гаусса

,

 

,

выполняется

, ,

.

Смещение аргумента

 

Сдвиг аргумента функции приводит к сдвигу фазы фурье-образа

 

. (1.9)

 

Доказательство

Используем (1.1)

,

получаем

.

 

Фазовый сдвиг

 

Сдвиг фазы функции приводит к сдвигу аргумента фурье-образа

 

. (1.10)

 

Доказательство

Из (1.1)

.

 

Комплексное сопряжение

 

Комплексное сопряжение функции приводит к комплексному сопряжению фурье-образа и инверсии его аргумента

 

. (1.11)

 

Доказательство

В (1.1) подставляем

.

 

Выполняем комплексное сопряжение (1.1)

 

.

 

Сравнение результатов дает (1.11).

Следствия (1.7) и (1.11)

,

 

:

 

1) если – вещественная и четная, то – вещественная и четная.

Доказательство

Используем

,

 

.

Следовательно,

;

 

2) если – вещественная и нечетная, то – мнимая и нечетная;

3) если – мнимая и четная, то – мнимая и четная;

4) если – мнимая и нечетная, то – вещественная и нечетная.

 

Утверждения 2, 3, и 4 доказать самостоятельно.

Теорема Парсеваля

. (1.14)

Применительно к физике теорема выражает, в частности, закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал теорему в 1799 г.

 

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

,

тогда

.

Получаем

 

= ,

 

где изменен порядок интегрирований.

 

Обобщенная теорема Парсеваля

 

. (1.15)

 

При и получаем (1.14).

 

Ортонормированность базиса и его фурье-образа

 

Если функции и ортонормированные

 

, (1.16)

 

То их фурье-образы также ортонормированные

 

. (1.17)

Доказательство

В (1.14)

 

полагаем и .

Интегральная теорема

 

Прямое и обратное преобразования Фурье восстанавливают непрерывную функцию

,

 

. (1.20)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

.

Подставляем (1.2) в (1.1)

 

,

 

где заменен порядок интегрирований и использованы свойства дельта-функции

,

.

 

Следовательно, для непрерывной функции операторами тождественного преобразования являются:

, . (1.20а)

 

Если функция в точке имеет разрыв

 

,

 

тогда оператор в точке усредняет функцию

 

.

Теорема о парах функций

 

Функция и ее фурье-образ называются «парой функций». Если

,

то выполняется

. (1.21)

 

Доказательство

Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с интегралом в (1.2)

 

.

 

 

, (1.1)

. (1.2)

Свертка функций

 

Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:

 

. (1.22)

 

Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде

 

с параметрами

, ;

 

, ;

 

, .

 

При замене использовано

.

Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.

Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов

 

 

 

f ₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f ₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

 

Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

 

Этим принципам удовлетворяет свертка

 

,

где

– функция Грина – реакция преобразователяна импульсный входящий сигнал;

– функция включения;

– аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Гринапреобразователя.

Теорема о свертке

 

Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов

. (1.24)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.22)

 

.

 

Интегралы расцепляем заменой в первом интеграле аргумента в виде , . Учитываем

 

.

Получаем

.

 

 

Для обратного преобразования Фурье выполняется

 

. (1.25)

 

Доказательство

 

Аналогично предыдущему доказательству получаем

 

.

 

Под интегралом сделана замена в виде .

Теорема о произведении