Виды уравнений прямой в пространстве. Скрещивающиеся прямые.

 

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Т.к. плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: × + D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D₁ = 0 и × + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

z

 

M₁

 

M₀

 

 

0 y

 

x

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = . Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: = + t. Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Отсюда получим: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

 

Теорема Коши.

 

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0.

Т.к. , то

А т.к. , то . Теорема доказана.

 

3. Построить геометрическое место точек плоскости хОу, задаваемое уравнением .

 

Приведём уравнение кривой к каноническому виду:

Уравнение сопряжённой гиперболы.

 

y

 

 

 

-2 0 x

 

 

4. Провести исследование и построить график функции .

Функция чётная, симметрична относительно Ох.

y’ - + - +

y 0 x

y’’ + - +

y -1 1 x

y

 

 

-1 0 1 x

 

 

-5

 

 

-9

 

БИЛЕТ № 20.