Высшие производные и дифференциалы.

1. Дать определение градиента скалярного поля и доказать теорему о связи производной по направлению и градиента. Дать инвариантное определение градиента. Примеры.

Градиентом с калярного поля называется вектор

Пусть имеется плоское поле u=f(x,y). Выберем на поверхности некоторую точку M и некоторый вектор . Рассечем поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через точку M и вектор .

Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле:

(12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор

ортвектор вектора

1. Дать определение касательной плоскости и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Примеры.

Пусть поверхность задана уравнениям f(x,y,z)=0. Выберем на этой поверхности некоторую точку M и проведем через эту точку различные вертикальные плоскости, в сечении получатся некоторые плоские кривые. Оказывается, что если градиент , то касательные к этим кривым расположены в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности F(x,y,z)=0 в точке M.

Выведем уравнение касательной к плоскости в точке

Нормаль к касательной плоскости совпадает с направлением градиента в этой плоскостит.

F(x,y,z)=C

Пусть поверхность задана явно z=z(x,y).

F(x,y,z)=z(x,y)-z

1. Дать определение локального экстремума функции двух переменных. Доказать теорему о необходимом условии экстремума.

Экстремум функции 2-х переменных.

z=z(x,y) в точке M₀ локальный max

1) z(M) определена в окрестности ; 2)

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Если M₀ является точкой экстремума функции т. extremum z=z(x,y), то частные производные в этой точке равны нулю.

Пусть точка M₀ – точка максимума. Проведя сечения координатными плоскостями, мы получим плоские кривые.

А для плоских линий, т.е. графика функции одной переменной необходимым условием экстремума является равенство нулю производной.

Эти производные будут частными производными для функции 2-х переменных, т.е. теорема доказана.

Опр. Точка M₀ называется стационарной точкой, если частные производные в этой точке равны нулю

Замечание.

Теорема 1 дает лишь необходимое условие экстремума, т.е. если функция дифференцируема и у нее есть экстремум, то частные производные равны нулю. Обратное вообще говоря не верно.

Замечания:

1) Функция z=z(x,y) может быть не дифференцируемой в точке M₀, тем не менее экстремум там может быть.

2) Рассмотрим примеры 2-х функций:

Точка O не является точкой экстремума, O – точка минимакса.

Этот пример подчеркивает, что теорема (1) дает лишь необходимое условие экстремума.

Тем не менее в большинстве случаев определив с помощью теоремы 1 стационарные точки, догадаться о том будут ли они точками

экстремума можно исходя из геометрических или физических соображений.

1. Доказать теорему о достаточном условии экстремума функции двух переменных. Примеры.

Теорема 2. Достаточное условие экстремума функции 2-х переменных.

Пусть функция z=z(x,y) дважды непрерывно дифференцируема и P₀ – стационарная точка, т.е.

Рассмотрим число

(1)

Если точка экстремума.

При этом если , то точка максимума.

Если точка минимакса.

Если , то неизвестно что это за точка.

Для доказательства воспользуемся формулой Тейлора:

Этот же вид формула Тейлора сохраняет для функции любого числа переменных, т.е. , но здесь ,

Если функция z(x,y) имеет в точке P₀ экстремум, то приращение функции в окрестности этой точки сохраняет знак.

Пусть для удобства , но в точке P₀ dz=0 знак определяется вторым дифференциалом, т.е.

Дальнейшие слагаемые имеют более высокий порядок малости по сравнению со вторым дифференциалом и потому знак влияния не оказывает.

Получим

В квадратных скобках стоит квадратный трехчлен по t, т.е. выражение вида

чтобы этот трехчлен держал знак нужно, чтобы его дискриминант был отрицательным, т.е

А это и есть условие (1) теоремы.

Если , то P₀ –точка минимума.

Если , то P₀ – точка максимума

1. Дать определение условного экстремума и рассказать о методе множителей Лагранжа. Рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области. Примеры.

Условный экстремум.

Рассмотрим следующую задачу:

Дано А квадратных сантиметров жести. Требуется сделать коробку в виде прямоугольного параллелепипеда, имеющего максимальный объем.

Найти экстремум функции

при выполнении условия F(x,y)=0 (2).

Задачу (1)-(2) можно попытаться решить формально, выразив из (2) уравнения y=y(x) и подставив его в (1):

.

Задача нахождения условного экстремума функции (1) при условии (2) свелась к задаче нахождения безусловного экстремума функции , однако этот путь далеко не всегда возможен, т.к. не всегда можно выразить y явно из соотношения (2), поэтому применяется другой общий прием, носящий название метод множителей Лагранжа

Ее безусловный экстремум и будет условным экстремумом функции (1) при условии (2).

Необходимым условием экстремума функции 3-х переменных является равенство нулю всех ее частных производных.

Докажем, что система (3) определяет стационарные точки для условного экстремума, для этого найдем полную производную функции и приравняем ее к нулю

Отсюда,

С другой стороны из соотношения (2) мы можем найти значение производной неявной функции Эти соотношения равны, отсюда получим

а это и есть соотношение (3).

Этот метод применим для функций любого числа переменных, разница лишь в том, что там возникает несколько множителей Лагранжа. Число множителей Лагранжа равно числу условий, налагаемых на функцию.

Пример.

Вставляем полученное значение вставляем в первое уравнение:

В силу симметричности системы числа a,b и c равны между собой.

этот параллелепипед является кубом.

Наименьшее и наибольшее значение функции в области (глобальный экстремум).

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции 2-х переменных:

Z=f(x,y) в D 1) Ищем стационарные точки функции:

Пусть это будут точки

2) Выделяем те из них, которые находятся внутри области D и на ее границах.

Пусть это будут точки

3) Находим значение функции в этих точках

4) Находим условный экстремум функции z при условии, что точка лежит на одной из линий, составляющих границу области D.

5) Находим значения функции в угловых точках

z(A), z(B), z(C).

Наименьшее из этих значений и будет наименьшим значением функции в области, наибольшее – наибольшим.

Пример. Найти экстремум функции в области D, ограниченной линией

На линии OA: y=0,z=0.

На линии OB: x=0,z=0.

На линии AB:

т.е.

1. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Доказать лемму о первообразных. Примеры.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Пример.

Неопределенное интегрирование – это операция, обратная дифференцированию и как всякая обратная операция она и сложнее и не всегда исполнима.

Лемма о первообразной.

Пусть и первообразные функции f(x), т.е. и тогда

Тогда они отличаются между собой не более чем на постоянную.

Доказательство:

Рассмотрим функцию и применим к этой функции теорему Лагранжа на

Найдем чему равняется

Эта лемма позволяет сделать корректным следующее определение:

Опр. 2. Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных, т.е. справедлива формула (2)

1. Доказать основные свойства неопределенного интеграла и вывести правила интегрирования. Примеры.

Свойства неопределенных интегралов.

1)

Доказательство:

Продифференцируем формулу (2)

что и требовалось доказать.

2)

Доказательство:

3)

1 и 2 свойства выражают взаимную обратимость операции дифференцирования и интегрирования, 3 свойство выражает линейность операции интегрирования.

На практике для вычисления интегралов их сводят к одному или нескольким табличным, используя правила интегрирования.

Пример.

Произвольная постоянная «спрятана» в последнем не взятом интеграле.

Для проверки правильности интегрирования нужно продифференцировать ответ, должна получиться подынтегральная функция.

1. Инвариантность формул интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.

Свойство инвариантности формул интегрирования заключается в следующем: в качестве и в формулах интегрирования может стоять как независимая переменная, так и произвольная дифференцируемая функция u=u(x).