Trigonometrie pravoъhlйho trojъhelnнku

 

Vypoинtat pomocн Pythagorovy vмty dйlku tшetн strany pravoъhlйho trojъhelnнka, pokud znбte dйlky dvou stran, nenн problйm. Teп si zopakujeme, jakэm zpщsobem vypoинtat velikost ъhlu nebo dйlku nмkterй strany pravoъhlйho trojъhelnнka, pokud znбte velikost jednoho ъhlu a dйlku jednй strany. Tyto ъlohy potшebovali uћ pшed tisнci lety шeљit hvмzdбшi a zemмmмшiиi. Dnes se bez jejich шeљenн neobejdou takй ћбdnн technici - strojaшi, stavbaшi a dalљн. Staин, kdyћ vyuћijete vaљich znalostн o podobnosti pravoъhlэch trojъhelnнkщ.

Obrбzek 8 – Podobnost trojъhelnнka

Ъseky AC, AC₁, AC₂ jsou shodnй, pro nбzornost si zvolme velikost 100 m. Pravoъhlй trojъhelnнky ABC, AB₁C₁, AB₂C₂ jsou podobnй podle vмty uu, platн tedy napшнklad rovnost pomмrщ dйlek odpovнdajнcнch stran:

V trojъhelnнcнch ABC a AB₁C₁ je stejnэ takй pomмr dйlky protilehlй a pшilehlй odvмsny:

Tento pomмr dйlky protilehlй odvмsny ku dйlce pшilehlй odvмsny se nazэvб tangens ъhlu α a zapisujeme:

Podobnм lze ukбzat, ћe jsou v pravoъhlэch trojъhelnнcнch se stejnэm ъhlem α stбle stejnй i dalљн pomмry dйlek stran. Pomмr dйlky protilehlй odvмsny ku dйlce pшepony se nazэvб sinus ъhlu α, v naљem trojъhelnнku lze zapsat:

Pomмr dйlky pшilehlй odvмsny ku dйlce pшepony se nazэvб kosinus ъhlu α, tedy:

Pomмr dйlky pшilehlй odvмsny ku dйlce protilehlй odvмsny se nazэvб kotangens ъhlu α, a pнљe se: .

Se zmмnou velikosti ъhlu α se zmмnн i hodnoty uvedenэch pomмrщ, kaћdй velikosti ъhlu pшнsluљн jedna hodnota pomмru. Jde tedy o funkce ъhlu α, souhrnnм nazvanй goniometrickй funkce.

 

Goniometrickй funkce ъhlu α pravoъhlйho trojъhelnнka: sinus: protilehlб: pшepona kosinus: pшilehlб: pшepona tangens: protilehlб: pшilehlб kotangens: pшilehlб: protilehlб

 

 

Pшнklad 5:

Vyjбdшete hodnoty sin β, cos β, tg β, cotg β podle obrбzku:

 

Obrбzek 9 – Obdйlnнk

 

 

Шeљenн:

 

Pшнklad 6:

Vypoиtмte velikost vnitшnнch ъhlщ pravoъhlйho trojъhelnнka ABC, jsou-li dбny dйlky jeho stran: a = 5 cm a c = 8 cm.

 

Шeљenн:

Z definice funkce sinus vyplэvб, ћe k vэpoиtu velikosti ъhlu uћijeme protilehlou odvмsnu a pшeponu. Odvмsna a je protilehlб k ъhlu α, proto mщћeme poинtat velikost ъhlu α. Nejprve vyjбdшнme hodnotu sinus:

Ke znбmй hodnotм sinus pomocн tabulek urинme velikost odpovнdajнcнho ъhlu α:

.

Pro vэpoиet velikosti ъhlu β mбme nмkolik moћnostн. Vyuћijeme tu nejjednoduљљн:

Velikost vnitшnнch ъhlщ danйho trojъhelnнka jsou

 

Pшнklad 7:

Jak daleko od bшehu je bуje, kterб je z vэљky 75 m nad hladinou jezera vidмt pod hloubkovэm ъhlem 32°40ґ?

Obrбzek 10 – Hloubkovэ ъhel

 

Шeљenн:

nebo

Bуje je od bшehu vzdбlenб 117 m.

Cviиenн 2:

1. Vypoиtмte velikost vnitшnнch ъhlщ kosoиtverce se stranou dйlky 5 cm a jednou ъhlopшниkou dйlky 8 cm. [α = 73°40ґ, β = 106°20ґ]

2. V obdйlnнku ABCD svнrб ъhlopшниka dйlky 6,4 cm s jednou stranou ъhel α = 30°20ґ. Vypoиtмte dйlky stran tohoto obdйlnнka. [a = 5,52 cm, b = 3,23 cm]

3. Rovnoramennэ lichobмћnнk mб ramena dйlky 5 cm a zбkladny dlouhй 8 cm a 6 cm. Jak velkй ъhly svнrajн ramena se zбkladnami? [78°30ґ]

4. Vypoиtмte obsah pravidelnйho љestiъhelnнka vepsanйho do kruћnice s polomмrem r = 5,3 cm. [7,6 cm²]

5. Pod jak velkэm ъhlem stoupб silnice, je-li na nн znaиka z obrбzku:

[6°50ґ]

 

 

Seznam pouћitй literatury

· CALDA, E., PETRБNEK, O., ШEPOVБ, J.: Matematika pro SOЉ a studijnн obory SOU 1. ибst. Dotisk 6. vydбnн. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 978 80‑7196‑041‑1.

· JIRБSEK, F., BRANIЉ, K., HORБK, S., VACEK, M.: Sbнrka ъloh z matematiky pro SOЉ a studijnн obory SOU 1. ибst. Dotisk 5. vydбnн. Praha: Prometheus, 2004. ISBN 80-85849-55-0.

· BМLOUN, F. a kol.: Sbнrka ъloh z matematiky pro zбkladnн љkolu. Dotisk 7. vydбnн. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-85849-63-1.

· KUИINOVБ, E.: Matematickб cviиenн s diferencovanэm zadбnнm. 1. vydбnн. Praha: SPN, 2004. ISBN 80-7235-259-8.

· BUЉEK, I., CALDA, E.: Matematika pro gymnбzia Zбkladnн poznatky z matematiky. 4. vydбnн. Praha: Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-366-0.

· http://galaktis.cz/clanek/absolutni-hodnota/ ze dne 5. 6. 2010.

· http://matematika-online-a.kvalitne.cz/absolutni-hodnota.htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.zsharcov.cz/Predmety/M/ucivo/7/1_03.html ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matematika/01_Zakladni_poznatky/5_Delitelnost/1503_Znaky_delitelnosti.pdf ze dne 5. 6. 2010.

· http://maths.cz/clanky/prvocislo.html ze dne 5. 6. 2010.

· http://cs.wikipedia.org/wiki/Slo%C5%BEen%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.zdenek-bures-matematika.cz/nasobek.htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.matematika-sps.kvalitne.cz/delitel.pdf ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.zsdobrichovice.cz/programy/matika/delitelnost/index.htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://cs.wikipedia.org/wiki/Absolutn%C3%AD_hodnota ze dne 5. 6. 2010

· http://cs.wikipedia.org/wiki/P%C5%99%C3%ADm%C3%A1_%C3%BAm%C4%9Brnost ze dne 5. 6. 2010.

· http://webvyukacontent.olportal.cz/w-umernost050126/priklady_prima_umernost).htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.filipes15.estranky.cz/clanky/nezarazene/trojclenka ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matematika/01_Zakladni_poznatky/1_Opakovani/1104_Pomery_a_umernosti_I.pdf ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.matweb.cz/trojclenka ze dne 5. 6. 2010.

· http://svp.muni.cz/ukazat.php?docId=579 ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.filipes15.estranky.cz/clanky/nezarazene/procenta ze dne 5. 6. 2010.

· http://webvyukacontent.olportal.cz/w-procenta-041206/tprocento-zaklad.htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://matematika-online-a.kvalitne.cz/procenta.htm ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.matematyka.estranky.cz/stranka/procenta-a-promile ze dne 5. 6. 2010.

· http://www.matzem.cz/dokuments/moc.priroz.mocn.pdf ze dne 5. 6. 2010.

· http://m-i-z.yc.cz/MAT_1roc_Priklady_mocniny.pdf ze dne 5. 6. 2010.

· http://zs5vajgar.wu.cz/Matematika8r/Procvicovani/Mocniny11-1.jpg ze dne 5. 6. 2010.

· http://salchem.wz.cz/rs/dokumenty/mocniny_a_odmocniny.pdf ze dne 5. 6. 2010.

 

Seznam obrбzkщ

Obrбzek 1 - Schematickй znбzornмnн oborщ инsel 6

Obrбzek 2 – Oznaиenн v pravoъhlйm trojъhelnнku. 35

Obrбzek 3 – Pythagorova vмta. 36

Obrбzek 4 – Mмшenн pravйho ъhlu v Egyptм. 36

Obrбzek 5 – Obdйlnнk. 37

Obrбzek 6 - Trojъhelnнk. 37

Obrбzek 7 - Љestiъhelnнk. 38

Obrбzek 8 – Podobnost trojъhelnнka. 39

Obrбzek 9 – Obdйlnнk. 40

Obrбzek 10 – Hloubkovэ ъhel 42

 

Seznam pouћitэch ikon

1. Studijnн cнle

2. Shrnutн

3. Prщvodce studiem

4a. Pшнklad

4b. Otбzky, kterй vyћadujн pнsemnou odpovмп

5. Literatura

6. Slovnниek pojmщ, klниovб slova

7. Dщleћitб pasбћ textu