Теорема о соотношении свойств открытости и замкнутости для произвольного множества и его дополнения до всего пространства.

Теорема об эквивалентности двух определений предельных точек для множеств.

Теорема об открытости и замкнутости объединения и пересечения множеств.

Понятие открытости множества относительно подпространства. Теорема.

Ограниченные множества в метрическом пространстве. Теорема об объединении ограниченных множеств.

Сепарабельные пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств.

Понятие всюду плотного и нигде не плотного множества. Примеры.

Понятие полного метрического пространства. Примеры.

14. Доказательство полноты пространства .

Доказательство неполноты пространства непрерывных функций с интегральной метрикой.

Теорема о вложенных шарах.

Теорема о пополнении метрических пространств часть 1.

Теорема о пополнении метрических пространств часть 2.

Теорема о пополнении метрических пространств часть 3.

Понятие непрерывных и липшицевых отображений метрических пространств. Примеры.

Теорема о липшицевости линейных ограниченных операторов. Примеры.

Несколько эквивалентных определений непрерывных функций. Доказательство эквивалентности.

Доказательство непрерывности суперпозиции, суммы, произведения и деления на функционал для непрерывных функций.

Понятие сжимающего отображения метрических пространств. Теорема о сжимающих отображений.

Вторая теорема о сжимающих отображениях.

Примеры решения задач с использованием принципа сжимающих отображений.

Первое определение компактных множеств. Примеры.

Второе определение компактных множеств. Примеры.

Третье определение компактных множеств. Примеры.

Доказательство безотносительности понятия компактности.

Доказательство ограниченности любого вполне ограниченного множества.

32. Критерий вполне ограниченности в пространстве .

Терема Хаусдорфа. Часть 1.

Терема Хаусдорфа. Часть 2.

Терема Хаусдорфа. Часть 3.

Теоремы Вейерштрасса.

Доказательство теоремы об эквивалентности любых двух норм в конечномерном пространстве.

Лемма Рисса о почти перпендикуляре.

Доказательство того, что замкнутый шар в бесконечномерном пространстве не является компактным множеством.

Теорема о существовании элемента наилучшего приближения для компактных множеств.

Теорема о существовании элемента наилучшего приближения для конечномерных подпространств

42. Критерий вполне ограниченности в .

Существование элемента наилучшего приближения для замкнутых выпуклых непустых множеств в гильбертовых пространствах.

Теорема о представлении гильбертова пространства в виде прямой суммы любого замкнутого подпространства и его ортогонального дополнения.

Теорема о представлении линейных непрерывных функционалов в гильбертовых пространствах.