Основные задачи на проценты:

Арифметика

Обыкновенные дроби:

Пропорции:

Процент - сотая часть числа.

Основные задачи на проценты:

1) Найдите число b,составляющее p%> от числа a.

Ответ:

2) Найдите число a, если его p% равны числу b.

Ответ:

3) Сколько процентов число b составляет от числа a.

Ответ: .

 

 

Законы сложения и умножения чисел

Переместительный	a + b = b + a; ab = ba
Сочетательный	(a + b) + c = a + (b + c); (ab) c=a (bc)
Распределительный	(a + b)c=ac + bc

Степени и корни

Определения:

Действия со степенями. Основные формулы.

Действия с корнями:

(a,b>0): .

Формулы сокращенного умножения

1) (а + в)² =а²+2ав+в² - квадрат суммы;

2) (а - в)² =а² -2ав+в² - квадрат разности;

3) (а + в)³ =а³+3а²в+3ав² +а³ - куб суммы;

4) (а - в)³ =а³-3а²в+3ав² - в³ - куб разности;

5) а² - в² =(а-в) (а+в) - разность - квадратов;

6) а³ - в³ =(а – в) (а²+ав +в²) - разность кубов;

7) а³ + в³ =(а+в) (а²-ав+в²) - сумма кубов;

8) (а+в+с)² =а²+в²+с²+2ав+2ас+2вс - квадрат трехчлена;

9) .

 

Уравнения

Линейное уравнение:

Решение: .

Система линейных уравнений:

Обозначения:

1) одно решение:

2) бесконечно много решений.

3) нет решений.

Квадратное уравнение:

Обозначение: - дискриминант.

1) два решения: .

2) одно решение: .

3) нет решений.

Разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Теорема Виета:

Выделение полного квадрата: .

Биквадратное уравнение: заменой сводится к квадратному уравнению: .

 

Неравенства

Свойства неравенств:

Линейное неравенство:

ax > b, .

Решение:

,

Квадратное неравенство:

Обозначения: - корни квадратного уравнения

При

Решение:

1)

2) -любое число

3) ,

4) нет решений.

 

Модули

Свойство модулей:

 

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию a: .

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:

Основное логарифмическое тождество: .

Свойства логарифмов: (a, b, c >0).

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства обычно решаются путем приведения всех выражений, содержащих логарифмические и показательные функции, к одному основанию и последующей замены неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраического уравнения или неравенства.

При решении неравенства используют свойства:

 

Прогрессии

Определения

Арифметическая прогрессия - последовательность чисел , где каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d (разность прогрессии).

Геометрическая прогрессия - последовательность чисел , где каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q (знаменатель прогрессии).

Формулы членов прогрессии

Формулы разности и знаменателя

Формулы суммы n первых членов прогрессии

Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии

 

Тригонометрия

Основные тригонометрические функции

1 радиан

Простейшие соотношения:

1) Основное тригонометрическое тождество:

2) Так как , то

Свойства тригонометрических функций:

 

 

Основные тригонометрические формулы

Формулы приведения

Функция	Угол
sin
cos
tg
ctg

Формулы сложения функций:

Формулы суммы и разности углов:

Определения:

Некоторые соотношения:

(a-любое число, b>0)

 

Другие уравнения:

1)

Деление на и введение вспомогательного угла по формулам

приводит к простейшему тригонометрическому

Уравнению относительно аргумента : .

2)

Используя тождество и деля на ,получим квадратное уравнение относительно tg x.

3) .

Замена с учетом равенства приводит к квадратному

уравнению относительно y.

 

Производная

Производная функции в точке :

- приращение аргумента в точке .Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных

функция	производная
С
	k
x
tg x,
ctg x
arcsin x
arccos x
arctg x
arcctg x

Правила дифференцирования:

Арифметика

Обыкновенные дроби:

Пропорции:

Процент - сотая часть числа.

Основные задачи на проценты:

1) Найдите число b,составляющее p%> от числа a.

Ответ:

2) Найдите число a, если его p% равны числу b.

Ответ:

3) Сколько процентов число b составляет от числа a.

Ответ: .