Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.

 

 

Упражнение. Интерпретировать умножение и деление в тригонометрической форме геометрически.

 

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Пусть z = a+bi.

Надо извлечь корень из z.

—?

обозначим через z₁, то z = z.

Пусть z₁ = x+iy, тогда

(x²–y²)+2xyi = a+bi,

Решив эту систему, мы найдем подходящие значения z₁.

Если так действовать и для извлечения корней более высокой степени, то придётся уметь решать уравнения соответствующих степеней.

Для извлечения корня из комплексного числа хорошо приспособлена тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть z = r(cosj+i sinj), надо найти = z₁, положим

z₁=ρ (cosy+i siny), z ==ρⁿ(cos(ny)+i sin(ny), r = ρⁿ Þ ρ = , j = ny+2pk y = .

Получим

= (cos +i sin ) (1),

где k — любое целое число, то есть корень n–той степени из произвольного комплексного числа z всегда существует и его можно посчитать по формуле (1), причем формула (1) даёт все корни, если k пробегает множество целых чисел (достаточно ограничиться k = 0,…, n–1)

Если возьмем k – любое, то мы можем разделить его с остатком на n:

k = nq+s; 0£s£n–1

.

Углы [2] и [3] отличаются на кратное 2p, и поэтому косинусы и синусы от них совпадают, следовательно формула (1) при угле [2] и при угле [3] даёт одинаковое значение.

Если брать k от 0 до n–1, то мы получим все значения. Нетрудно заметить, что все эти значения разные (смотри геометрическую интерпретацию).

Теорема 4.

Извлечение корня степени n из комплексного числа всегда возможно, и даёт n различных значений, получающихся по формуле (1).

Теорема нами доказана ранее.

Замечание (геометрическая интерпретация).

Все значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на n равных частей:

 

§5. КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ.

1 = cos0+i sin0 = cos +i sin , .

Корни расположены на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Теорема 1.

Все значения корня n–той степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них на все корни из 1.

Доказательство:

Возьмём a = = (cos +i sin ), где s–фиксированное число.

e₁, e₂,…, e_n – так обозначим все корни .

Домножим каждый из корней e₁,…, e_n на a. Они разные, все являются корнями n–той степени из z, ибо (ae_i)ⁿ = z и их штук.

Теорема доказана.

Теорема 2.

Произведение двух корней n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Следствие.

Степень корня n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Все ли корни из 1 равноправны?

n=4; 1, –1, i, –i — корни из единицы.

i; –i — первообразные корни; если i возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим все корни.

Определение 1.

Корень n–той степени из 1 называется первообразным, если он не даёт единицу в степени меньше, чем n.

Всегда ли есть первообразный корень?

Всегда! Например: cos +i sin .

Упражнение. Доказать, что корень n–той степени

e_k = cos + i sin будет первообразным, если n и k — взаимно простые (не имеют общих делителей отличных от 1).

ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ.

В множествах Q Ì R Ì C возможны четыре операции +, –, ×,:.

Определение 1. Подмножество K Ì C множества комплексных чисел C, состоящее более, чем из одного элемента, называют числовым полем, если выполняются следующие условия:

1) " a, bÎK Þ a+bÎK, то есть в множестве K всегда возможно сложение;

2) " aÎK Þ –aÎK;

3) " a, bÎK Þ abÎK, то есть задано умножение в K (K замкнуто относительно умножения);

4) " a ¹ 0; a ^-1ÎK.

Из 2) с учётом 1) получаем, что в K всегда возможно вычитание.

Из 4) с учётом 3) получаем, что в K всегда возможно деление на число не равное 0.

Q — поле рациональных чисел;

R — поле вещественных чисел;

C — поле комплексных чисел.