Промежутки монотонности (Интервалы возрастания/убывания функции)

Теорема.

Если , то функция - постоянное число (b=const),

Если то функция возрастает,

Если , то функция убывает.

Доказательство:

Возьмем произвольные такие, что и рассмотрим разность:

· если , то - функция постоянна

· если , то функция возрастает

· если , то функция убывает

 

Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения, т.к. её множеством значений является всё множество .

 

График функции

Графиком линейной функции является прямая (рис 1).

3. Свойства функции и её график

О. Функция вида , где , называется обратной пропорциональностью.

Свойства:

1. Область определения функции

Выражение однозначно вычисляется , при это выражение не определено (почему?), значит

 

2. Множество значений функции

Уравнение при всех значениях имеет единственный корень, равный

Если , то уравнение корней не имеет, значит

 

Периодичность.

Теорема.

Функция не является периодической.

Доказательство:

Пусть функция является периодической с периодом . Это значит, что .

Рассмотрим разность:

,

значит предположение о том, что функция обратная пропорциональность имеет период не верно, и функция обратная пропорциональность не является периодической.

 

Чётность/нечётность.

Функция нечётная, т.к. область определения является симметричной относительно нуля и

 

Точки пересечения графика с осями координат.

Т.к. уравнение не имеет корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Так как , то график функции точек пересечения с осью ординат не имеет.

 

Промежутки знакопостоянства функции.

· При : и

· При : и

 

Интервалы возрастания/убывания функции.

Теорема.

Если то функция убывает при и при

Если , то функция возрастает при и при

Доказательство:

Пусть , тогда возьмем произвольные , пусть для определенности , тогда , то есть , значит функция убывает при .

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть ,

тогда рассмотрим разность (почему?),

то есть , значит функция убывает при .

Аналогично при : возьмем произвольные , пусть для определенности , тогда , то есть , значит функция возрастает при .

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть , тогда ,то есть , значит функция возрастает при .

Замечание: Функция не является монотонной на всей своей области определения!!!!!!!

Действительно, например, , если , то ,что не верно, т.к. при функция является убывающей и по определению большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Наибольшее/наименьшее значение функции.

Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения, т.к. её

 

График функции.

График функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную .

О. График функции называется гиперболой и расположен в первой и третьей координатных четвертях, если ; и во второй и четвертой, если . (рис.2).

4. Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.

О. Функция, задаваемая формулой называется квадратичной функцией.

Свойства:

1. Область определения функции: .

, т.к. значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа (почему?).

 

2. Множество значений функции:

Преобразуем квадратный трехчлен, задающий квадратичную функцию, выделив полный квадрат:

Введем обозначения: тогда .

Выражение может принимать любыенеотрицательные значения в зависимости от x. Поэтому, при , а при

 

3. Периодичность:

Квадратичная функция не может быть периодической, т. к., например, свое значение она

принимает только в одной точке .

 

Чётность/нечётность

Если , то функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), т.к. , то есть и

Если , то функция имеет вид и , значитфункция четная.