Неподвижные точки различных видов движений пространства.

Найдём множества неподвижных точек различных видов движений:

1. Тождественное преобразование. Множеством неподвижных точек тождественного преобразования является всё пространство.
2. Параллельный перенос. Если , то - тождественное преобразование и неподвижными будут все точки пространства. Если , то у нет неподвижных точек.
3. Поворот вокруг оси, осевая симметрия. Если угол поворота равен 2πk (), то он является тождественным преобразованием. Тогда неподвижны все точки. Если угол поворота не равен 2πk () (в частности, если он является осевой симметрией), то множеством неподвижных точек является ось симметрии.
4. Центральная симметрия. Неподвижной точкой является только центр симметрии.
5. Зеркальная симметрия. Неподвижными точками являются точки плоскости симметрии.
6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.
• У переносной симметрии неподвижных точек нет
• У винтового движения неподвижных точек нет.
• У поворотной симметрии единственная неподвижная точка .

Наглядно вывод можно представить в виде следующей таблицы (для всех преобразований мы не берём в расчёт их частный случай, когда они являются тождественными):

Впоследствии мы докажем, что движения пространства ограничиваются перечисленными в таблице. Поэтому наша таблица полная.

Теперь докажем несколько теорем, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема 4.1. (признак поворота) Если множеством неподвижных точек движения является прямая ℓ, то это движение – поворот около прямой ℓ.

Доказательство. Из аналогичной теоремы на плоскости следует, что в каждой плоскости, перпендикулярной ℓ, происходит поворот. Все эти повороты происходят на один и тот же угол, т.к. каждая плоскость, содержащая ℓ, как легко показать, при нашем движении переходит в плоскость, также содержащую ℓ. Значит, наше движение – поворот около ℓ.

Теорема 4.2. (признак зеркальной симметрии) Если множеством неподвижных точек движения является плоскость α, то это движение – симметрия относительно плоскости α.

Доказательство. Пусть α – плоскость неподвижных точек, Х – произвольная точка пространства, не лежащая в α. Опустим перпендикуляр ℓ из Х на α. Прямая ℓ при нашем движении переходит в себя, так как она остаётся перпендикулярной плоскости α и проходит через ту же точку (назовём её О) плоскости α (потому что эта точка неподвижна). Тогда Х´, образ точки Х при нашем движении, лежит на прямой ℓ. При этом ОХ´=ОХ, т.е. Х´ симметрична Х относительно плоскости α. Таким образом, наше движение – симметрия относительно плоскости α.

Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S_α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B₁C₁D₁.

Теперь, если В₁ совпала с В´, С₁ – с С´, D₁ – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В₁ не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B₁ и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В₁ и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S_β переводит тетраэдр A´B₁C₁D₁ в тетраэдр A´B´C₂D₂.

Теперь, если С₂ совпала с С´, а D₂ – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С₂ не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С₂ и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С₂ и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S_γ переводит тетраэдр A´B´C₂D₂ в тетраэдр A´B´C´D₃.

Теперь, если D₃ совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D₃ и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D₃ и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S_δ переводит тетраэдр A´B´C´D₃ в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.