Функция распределения и ее свойства

Следующей характеристикой распределения вероятностей случайной величины, которую можно применить для разнообразных случайных величин, в отличие от ряда распределения, который применим только для дискретных случайных величин, является функция распределения.

Функцией распределения, или интегральным законом распределения случайной величины X, называется задание вероятности выполнения неравенства X < x, рассматриваемой как функции аргумента x:

(2.9)

Функция распределения характеризует полностью случайную величину с вероятностной точки зрения.

Определение функции распределения имеет простую геометрическую интерпретацию. Если рассматривать случайную величину как случайную точку X оси OX (рис. 2.1), которая в результате опыта может занять то или иное местоположение, то функция распределения F (x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадает левее точки x.

0 X x x

Рис. 2.1

Для дискретной случайной величины X, если возможные значения ее , функция распределения будет иметь вид:

(2.10)

где символ под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все возможные значения случайной величины, которые по своей величине меньше аргумента .

Формулу (2.10) можно записать в виде:

(2.11)

Таким образом, для дискретной случайной величины разрывная и возрастает скачками при переходе через точки .

Пример 1. Дан ряд распределения случайной величины X:

X				. 7
p	0,4	0,1	0,3	0,2

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Р е ш е н и е. По условию:

Построим с помощью выражения (2.11) функцию распределения:

Изобразим графически, как показано на рис. 2.2.

Рассмотрим основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Справедливость этого свойства следует из того, что функция распределения – это вероятность.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при :

Пусть a и b – точки числовой оси, причем . Рассмотрим два несовместных события тогда . Это соотношение между событиями видно из их геометрической интерпретации (рис. 2.3).

а b

А = (х < a)

Рис. 2.3

По теореме сложения для несовместных событий:

или

откуда

(2.12)

Так как , то , т.е. – неубывающая функция.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.:

Действительно:

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

(2.13)

Формула (2.13) следует непосредственно из формулы (2.12).

Пример 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (1;3).

Р е ш е н и е. По формуле (2.13):

Для нахождения значений используем заданную функцию распределения.