Показатели вариации. Абсолютные и относительные.

Вариация – это различие численных значений признака. По показателям вариации определяется однородность совокупности. В отклонениях значений признака от сред. Величины проявляется развитие явления.

Абсолютные показ. вар.:

1. Размах вариации:

R = Xmax – Xmin

Недостаток состоит в том, что он опирается только на крайние значения совокупности, т.е. нет информ. о вариации признака внутри совокупности.

2. Среднее линейное отклонение d (формула простая и взвешенная):

Этот показатель определяет на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего арифметического.

3. S – среднее квадратичное отклонение

Определяет то же самое, что и линейное отклонение (d), но значение его всегда больше, чем d, т.е. этот показатель точнее. Выражается в именованных числах.

Относительный пок. вар. – коэффициент вариации. Рассчитывается как отношение сред. квадрат. к сред. арифметич.

V = S / X * 100%

Если он меньше 40%, то это означает, что среднее арифметическое выбрано надёжно и совокупность однородна. Если больше 40%, то это означает, что совокупность неоднородна и среднее арифметическое выбрано ненадёжно.

Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений значений признака от средней величины.

Определяет дисперсия то же самое, что и сред. квадратическое отклонение (S). Сложность использования дисп. в том, что она выражается в квадратичных единицах.

По свойству мажурантности среднее квадратичное отклонение S всегда больше, чем среднее линейное откл. (d). Если распределение признака близко к нормальному распределению или симметричному, то выполняются такие соотношения: S = 1,25d и d = 0,8S.

По теореме Чебышева: 75% значений признака попадает в интервал от

-2S≤X≤2S и 89% от -3S≤X≤3S.

24. Коэффициент Джини и построение кривой Лоренца.

Коэффициент Джини — статистический показатель степени расслоения общества данной страны или региона по отношению к какому-либо изучаемому признаку.

Следует найти площадь первой фигуры и поделить её на площадь второй. В случае полного равенства коэффициент будет равен 0; в случае полного неравенства он будет равен 1. Коэффициент Джини можно рассчитать по формуле Брауна:

,

или по формуле Джини:

,

где — коэффициент Джини, — кумулированная доля населения (население предварительно ранжировано по возрастанию доходов), — доля дохода, которую в совокупности получает , — число домохозяйств, — доля дохода домохозяйства в общем доходе, — среднее арифметическое долей доходов домохозяйств.

Кривая Лоренца — это графическое изображение функции распределения.

Чтобы построить кривую Лоренца, откладываем по оси X процент семей, а по оси Y - процент дохода Абсолютное равенство графически представлено биссектрисой ОЕ.

Линия фактического неравенства строится на основании данных о процентах дохода, приходящихся на каждые 10% населения. Если нижняя первая часть населения получила 3,2% всех доходов, то графически это будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент дохода первых 10% населения с процентами доходов вторых 10% населения (1,9% + 2,5%) и т.д.

Рассчитаем коэффициенты концентрации доходов (индекс Джини).
Уровень неравенства определяется с помощью коэффициента Джини. Он рассчитывается как отношение площади фигуры OABCDKLMNPE к площади треугольника ОEG. Для того чтобы определить площадь фигуры, лежащей ниже кривой Лоренца, соединяем прямыми линиями точки ОА, АВ и т.д. Опускаем перпендикуляр на ось X и находим площади фигур, лежащих ниже точек А, B, С.

S_ABB'A состоит из треугольника и прямоугольника S_BCCB' также состоит из треугольника и прямоугольника
Сложив все площади фигур, получим площадь фигуры S₂