Правило мажорантности средних величин

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правиломажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней.

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частотчастостями не меняет значения средней.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

7. Понятие структурных средних величин (мода и медиана) и способы их определения.

Средние структурные величины.

При определении среднеструктурных величин определяются мода и медиана.

Медиана – вариант, расположенный в центре ранжированного ряда, медиана делит ряд на две одинаковые части, таким образом, чтобы по обе ее стороны находилось одинаковое число единиц совокупности. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианы будет определяться по формуле для рядов, где - нечетное, если же ряд с четным числом единиц, то медианой будет являться среднее значение между двумя вариантами.

Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала в котором находится медиана, т.е. медианного интервала – этот интервал характеризуется тем, что его коммулятивная частота равна полусумме или превышает полусумму всех частот ряда.

Аналитически медиану определяют по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала; - ширина медианного интервала; i

- сумма накопленных частот до частоты медианного интервала; - частота медианного интервала.

Мода – вариант наиболее часто встречающийся в совокупности. В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант модального интервала. В пределах интервала надо определить то значение признака, который обладает наибольшей частотой. Аналитически определяем по формуле:

где - нижний уровень модального интервала; - ширина интервала;

- частота интервала; - частота предыдущего и последующего интервала.

Если ряд с неравными интервалами, то необходимо вычислить плотность распределения.

Для начала необходимо рассчитать плотность распределения по формуле , где f - частота, а i – шаг.

Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частностей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.