Метод произведений для вычисления выборочных средних и дисперсии

Метод произведения дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равностоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1. в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2. во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3. в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетки строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно –1, –2, –3 и т.д., а под нулем – 1, 2, 3 и т.д.;

4. умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5. умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

6. умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их суму помещают в нижнюю клетку столбца.

После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

,

Наконец вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам (*) и (****):

,

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статического распределения:

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

1. запишем варианты в первый столбец;

2. запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3. в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта варианта расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежи строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно –1, –2, –3, –4, а под нулем – 1, 2, 3, 4, 5;

4. произведение частот на условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (–46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца;

5. произведение частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

6. произведение частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную таблицу

10,2		–4	–8
10,4		–3	–9
10,6		–2	–16
10,8		–1	–13
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
	n =100

Контроль:

Вычисления произведены правильно.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Найдем шаг: h =10,4–10,2=0,2.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию: