Почленное интегрирование РСФР

Теорема 1. (почленное интегрирование РСФР): Пусть члены ФР непрерывны на [a,b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a,b]. , - непрерывны на[a;b]. Тогда ФР можно интегрировать почленно: .

(Так как , S(x) (в силу теоремы 1) - непрерывны на [a;b], то

Докажем: >0 >

 

=

(т.к. из равномерной сходимости ФР >0 = : x [a;b], n> |S(x)- |< )

 

Замечание 1: В теореме 1 интегрирование можно проводить по любому от­резку [a,x], где x [a;b]

Замечание 2: =

 

Почленное дифференцирование РСФР

Теорема (о почленном дифференцирование РСФР): Пусть непре­рывно дифференцируемы на [a;b].

ФР (1) сходится на [a;b], (2) равномерно сходится на [a;b].

Тогда

(Обозначим P = . Из теоремы 3 следует: = ;

= = -

= S(x)-S(a). ПотеоремеБарроу: ()´=P(x)=S´(x)).

Замечание: = (

16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и до­статочное условия.

 

Комплексное число является пределом

Критерий сходимости: для того, чтобы

()

и

(Н)

:

(Д)

;

;

17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.

 

· t f(t)=x(t)+iy(t) – комплекснозначная функция от действительной переменной

· f(t) непрерывна на если x(t) и y(t) непрерывны на

· f’(t)=x’(t)+iy’(t): f(t) дифференц. на если x(t) и y(t) дифференц. на

· Теорема: если на задана непрерывная z=f(t) то говорят что задана не­прерывная кривая a=f(a) и b=f(b) – концы. Кривая замкнута если a совпа­дает с b.

· Z₁=f(t₁) Z₂=f(t₂) если t1 неравно t2 а Z₁=Z₂ и хотя бы одна из z не является ни a ни b то это точка самопересечения

· Кривая не содержащая точек самопересечения называется простой (жарда­новой)

· Если на кривой то она называется гладкой

· Замкнутая простая кусочногладкая кривая называется контуром

· Точка z₀ является внутренней точкой множества D если которая це­ликом лежит в D

· Множество состоящее из внутренних точек называется открытым

· Множество называется связнам если две его точки можно соединить не­прерывной кривой лежащей в нём

· Множество D – область если оно открытое и связное

· Область ограниченная γ обозначается D γ и называется контуром

· Область с присоединенной границей называется замкнутой

· Точка z₀ – изолированная если в которой нет точек кроме неё са­мой

· Область называется односвязной если замкнутую непрерывную кривую можно стянуть в точку не выходя за пределы области

 

Предел и непрерывность Функции Комплексной Переменной

 

Пусть W() однозначно определена в окружности z₀

если:

1)

2)

Используя критерий сходимости комплексной последовательности (16)запишем

 

 

 

Основные элементарные ФКП

 

1) линейная w=az+b – непрерывна на z

2) степенная w=zⁿ

3) дробнолинейная 0

4) w=e^z=e^x(cosy+isiny)

5) логорифмическая w=Lnz=ln|z|+iargz+2nki

6) тригонометрические

7) обратные тригонометрические cosiz=chsiniz=ish

+ 21.Дифференцирование ФКП. Условия Коши-Римана.

Пусть определена и одназн. в .Если ,то ф-я дифф-ма в .

Т.е. . (*).

Если ф-я диф-ма в ,то её приращение представимо в виде (*). Пусть представимо так: (**), не зависит от . Тогда Чтобы была диф-ма в чтобы её приращ. в было в виде (*).

Если -диф-мы в 1)

2) 3) 4) -диф-ма.в Если -диф. в ,то -непре­рывна в .

□по св-ву 1: непрер. ■ Если -диф. в -диф-мы в . Обратное не всегда верно.

 

+21Теорема Коши-Римана. Пусть -определена и однозн.в .Чтобы была диф-ма в были диф-мы в и выполнялись: в .

□ Необ. Пусть .

а) . .

б) . . (***).

Дост. -диф-мы в и выполняется (***). при . Т.е. ■