Кольцо многочленов от n переменных

По аналоги с тем как было построено кольцо многочленов от одной переменной можно построить от 2 3 любого числа переменных.

Пусть K областью целостности с единицей.

О1) Многочленом от нескольких переменных с коэффициентами из K назовем выражение вида:

Пример 1:

Многочлен от 3 переменных с коэффициентами из кольца Z:

 

Слагаемые называются одночленами а, элементы t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>ПµK</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> - коэффициенты многочлена .

О2) Многочлены и назовем равными если для любых значений совокупности индексов коэффициент при многочлена f равен коэффициенту из g и пишут

Определим сложение и умножение:

О3) Суммой многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K назовем многочлен вида:

О4) Произведением многочленов и от n переменных назовем многочлен вида:

где

Пример:

Операции над многочленами от n переменных обладают следующими свойствами:

1) коммутативность сложения – вытекает из определения сложения многочленов и коммутативности сложения в кольце K.

2) Ассоциативность сложения: свойство вытекает из определения сложения многочленов и из ассоциативности сложения в кольце K.

3) Существование нуля роль нейтрального элемента относительно сложения играет нулевой многочлен –коэффициенты которого есть нули.

4) Существование противоположного элемента многочленом противоположным многочлену f будет многочлен –f коэффициенты которого противоположны соответствующим коэффициентам из f.

5) Ассоциативность умножения свойство вытекает из определения операции умножения и ассоциативности умножения в кольце K.

6) Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Множество многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K является кольцом обозначают .

Многочлены не содержащие переменных то есть состоящие из одного свободного члена отождествляют с элементами кольца K которое является под кольцом кольца многочленов.

7) Коммутативность умножения: коммутативность умножения в кольце многочленов следует из коммутативности умножения одночленов которое вытекает из коммутативности умножения в кольце K.

8) Существование единице роль единице кольца многочленов играет многочлен отождествляемый с еденицей кольца K.

В результате получаем коммутативное кольцо с единицей.