Полярная система координат на плоскости

CПРАВОЧНИК

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат на плоскости

Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
‑ полюс, полупрямая ‑ полярная ось.

 

 

Произвольной точке плоскости, отличной от , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус , равный расстоянию от до полюса , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора ) ();

‑ полярный угол , равный углу между полярной осью и . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что (или .
Полюсу соответствует полярный радиус , полярный угол для него не определен.

Запись означает: точка с полярными координатами и .

Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось , то получим следующую связь между координатами точки в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: ;
переход из ПСК в ДСК: , , , т. е.при решении последнего уравнения относительно учитывают, в каком квадранте лежит точка . Если точка лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол .
Пример. Дана точка в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: ; подставляем в формулы полярные координаты : получим декартовые координаты . В декартовой системе .

Пример. Дана точка в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. находится в 4 четверти, поэтому
, , , откуда , поэтому в полярной системе координат .
Пример. Дана т очка в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты , то получаем:
. Ответ: .

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось: ,

где - угол между и осью .

Свойства проекции: .

Вектор, заданный своими координатами, обозначается:

на плоскости , в пространстве , где .

Если известны проекции вектора на координатные оси ‑ координаты вектора , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид (верно и обратное утверждение).

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если , , то

;

;

.

Длина вектора: .

Координаты вектора, если известны координаты

его начала и конца :

,

длина вектора: .

Координаты точки , принадлежащей отрезку , и делящей его в отношении ():

.

Если точка середина отрезка , то

.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Векторное произведение векторов и его свойства

Условие коллинеарности двух векторов

В векторной форме: .

В координатной форме: если , , то

.

Прямая на плоскости

Плоскость в пространстве

Угол между плоскостями

, :

.

Взаимное расположение двух плоскостей и :
пересекаются не верно, что ;
параллельны (но не совпадают) ;
совпадают

Прямая в пространстве

Кривые второго порядка

Эллипс

Определение	2a>2c
Уравнение
Параметры
Связь между параметрами
Фокусы	на оси	на оси
Вершины	,	,
Большая ось
Малая ось
Фокусное расстояние
Эксцентриситет	(	(
Рисунок

Уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

Гипербола

Определение	2a<2c	2a<2c
Уравнение
Параметры
Связь между параметрами
Фокусы	на оси OX	на оси
Вершины
Действительная Ось
Мнимая ось
Фокусное расстояние
Уравнения асимптот
Эксцентриситет	(	(
Рисунок

Уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :
или

ПАРАБОЛА

Уравнение
Параметр
Фокус
Директриса
Рисунок

 

Окружность

Уравнение
Радиус окружности
Центр окружности
Положение окружности

 

CПРАВОЧНИК

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат на плоскости

Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
‑ полюс, полупрямая ‑ полярная ось.

 

 

Произвольной точке плоскости, отличной от , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус , равный расстоянию от до полюса , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора ) ();

‑ полярный угол , равный углу между полярной осью и . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что (или .
Полюсу соответствует полярный радиус , полярный угол для него не определен.

Запись означает: точка с полярными координатами и .

Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось , то получим следующую связь между координатами точки в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: ;
переход из ПСК в ДСК: , , , т. е.при решении последнего уравнения относительно учитывают, в каком квадранте лежит точка . Если точка лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол .
Пример. Дана точка в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: ; подставляем в формулы полярные координаты : получим декартовые координаты . В декартовой системе .

Пример. Дана точка в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. находится в 4 четверти, поэтому
, , , откуда , поэтому в полярной системе координат .
Пример. Дана т очка в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты , то получаем:
. Ответ: .

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось: ,

где - угол между и осью .

Свойства проекции: .

Вектор, заданный своими координатами, обозначается:

на плоскости , в пространстве , где .

Если известны проекции вектора на координатные оси ‑ координаты вектора , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид (верно и обратное утверждение).