Зачем нужны элементы множеств, когда есть одноэлементные подмножества?

Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Разница между элементами и подмножествами закладывает своеобразную иерархию структур в языке теории множеств. Именно эта иерархия позволяет создать гибкий математический язык, удобный для описания разнообразных задач. Следующий поясняющий пример взят из книги Ю.А. Шихановича.

Пример. Число 2 – четное, а множество {2} – одноэлементное.

Пример. Равные множества:

{ a, b, c } = { c, b, a }.

Пример. Трехэлементное множество:

{ a, { a }, { a, { a }}}.

Объединение множеств

Пусть А и В – два множества. Их объединением А В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Из этого определения, очевидно, следует, что

А В = В А (8.1)

(коммутативность операции объединения множеств).

Справедливость соотношения (8.1) часто иллюстрируют на диаграмме Эйлера – Венна (см. рис.8.1).

Делается это следующим образом в два этапа. 1-й этап. Вначале заштриховывают множество А, затем заштриховывают множество В. Все, что заштриховано хотя бы один раз, и есть объединение множеств А В.

2-й этап. Вначале заштриховывают множество В, затем заштриховывают множество А. Все, что заштриховано хотя бы один раз, и есть объединение множеств В А.

Как видно из рис.8.1, оба раза в результате оказывается заштрихованной (хотя бы один раз) одна и та же область. Тем самым равенство (8.1) считается доказанным.

Аналогично доказывается ассоциативность операции объединения множеств. А именно, для любых трех множеств А, В, С справедливо соотношение:

(А В) С = А В С). (8.2)

Справедливы также следующие свойства операции объединения множеств (доказательства не приводим ввиду их очевидности):

А А = А,

А = А,

А U = U.

(Ни в коем случае не следует путать обозначение универсального множества U с обозначением операции объединения множеств

Замечание. Кроме операции объединения двух множеств, в математике используется операция одновременного объединения нескольких множеств. Пусть, например, имеются множества А _i (1 i n). Их одновременное объединение _i A _i состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А _i . Мы будем считать очевидным, что одновременное объединение трех множеств А, В, С совпадает с (8.2).

Пересечение множеств

Пусть снова А и В – два множества. Их пересечением А В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В.

Из этого определения, очевидно, следует, что

А В = В А (9.1)

(коммутативность операции пересечения множеств).

Справедливость соотношения (9.1) можно проиллюстрировать на диаграмме Эйлера – Венна (см. рис.8.1). Делается это, как и в случае операции объединения множеств, в два этапа.

1-й этап. Вначале заштриховывают множество А, затем заштриховывают множество В. Все, что заштриховано дважды, и есть пересечение множеств А и В.

2-й этап. Вначале заштриховывают множество В, затем заштриховывают множество А. Все, что заштриховано дважды, и есть пересечение множеств В и А.

Как видно из рис.8.1, оба раза в результате оказывается дважды заштрихованной одна и та же область. Тем самым равенство (9.1) считается доказанным.

Аналогично доказывается ассоциативность операции пересечения множеств. А именно, для любых трех множеств А, В, С справедливо соотношение:

(А В) С = А В С). (9.2)

Справедливы также следующие очевидные свойства операции пересечения множеств (доказательства опускаем ввиду их очевидности):

А А = А,

А = ,

А U = А.