Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

и при обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке и, следовательно, представляет собой неопределенность типа или соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило ЛопиталяБернули),

и имеет место следующее равенство:

, если и .

1. (здесь имеет место неопределенность типа )=

= .

Аналогичное правило имеет место, если и , т.е. .

2. (неопределенность типа )

=

= .

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа и . Для вычисления , где - бесконечно малая, а - бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду

(неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.

3.

Для вычисления , где и - бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность типа . Если , то .

Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).

4. .

Так как , то получим в итоге неопределенность типа и далее имеем

.

 

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где в случае есть бесконечно малая, в случае - бесконечно большая, а в случае - функция, предел которой равен единице.

Функция в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).

 

 

5.

(воспользуемся правилом Лопиталя)=

= .

В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

и тогда .

6.

= ;

.

7. ;

= ;

.

8. ;

 

= ;

.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Первообразная

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции . Рассмотрим обратную задачу. По заданной функции ¦ ( x ) восстановить такую функцию F ( x ), для которой ¦ ( x ) была бы производной, т.е. . Такую функцию F(x) принято называть первообразной для ¦(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для функции ¦(x) на некотором множестве X, если для любого xÎX выполняется равенство .

Пример 1. Функция является первообразной для функции на всей оси OX, т.к. для любого xÎR мы будем иметь .

Из этого примера важно заметить, что первообразной для функции является не только , но и функция , где C – любая постоянная, т.к. . Указанное обстоятельство справедливо для любой функции ¦(x), имеющей первообразную.

А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть F(x) – какая-нибудь первообразная для функции ¦(x) на некотором множестве X, тогда функция F(x)+C, где C – любая постоянная, также будет первообразной для ¦(x).

Обратно, всякая первообразная для ¦(x) на множестве X может быть представлена в виде F(x)+C.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции ¦(x) называется неопределенным интегралом от функции ¦(x) и обозначается символом .

Итак, по определению (1).

В силу установившейся традиции равенство (1) без явного обозначения множества справа, т.е. вида , при этом C называется произвольной постоянной.