Моделирование случайных векторов и процессов

Моделирование случайных векторов и процессов

 

Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.

Теорема Котельникова о выборе интервала дискретизации:

Δt < 1/2f_в, где f_в – высшая частота спектра процесса (сигнала).

Моделирование в рамках многомерных распределений.

Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением:

1) Метод условных распределений;

2) Метод Неймана.

 

1. Метод условных распределений.

Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей N-мерной функцией плотности . Одномерная плотность распределения вероятности случайной величины имеет вид:

. (1).

Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию случайной величины с ω (1). Затем найдем условное распределение случайной величины :

 

Произведем выборку случайной величины с функцией плотности и так далее. Полученная таким путем последовательность пар чисел ,будет иметь совместную плотность . Практическое использованиеэтого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда интегралы берутся в конечном виде.

 

Метод Неймана.

Пусть - N-мерная плотность распределения вероятностей случайного вектора с областью определения случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для формирования реализаций вектора на ЭВМ вырабатывается N+1 случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах соответсвенно, -- максимальное значение функции .

В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .

Реализации случайных чисел , не удовлетворяющих этому условию, отбрасываются.

Здесь в отличии от одномерного случая имитируются случайные точки не на плоскости под кривой ω(y), а в (N+1)-мерном объеме под N-мерной поверхностью .

 

 

Метод разложения в ряд Фурье

Недостатки методов 1,2,3 большой объем вычислений и большой объем памяти.

 

и -- случайные амплитуды.

Метод разложения в ряд Фурье

Для стационарных случайных процессов наиболее простой частный случай ортогонального разложения на конечном интервале (0,T) – разложение в ряд Фурье. -- случайные амплитуды.

При реализации случайного процесса является периодическими функциями с периодом . --нужно выбрать.

--дисперсии коэффициентов .

Моделирование случайных векторов и процессов

 

Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.

Теорема Котельникова о выборе интервала дискретизации:

Δt < 1/2f_в, где f_в – высшая частота спектра процесса (сигнала).

Моделирование в рамках многомерных распределений.

Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением:

1) Метод условных распределений;

2) Метод Неймана.

 

1. Метод условных распределений.

Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей N-мерной функцией плотности . Одномерная плотность распределения вероятности случайной величины имеет вид:

. (1).

Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию случайной величины с ω (1). Затем найдем условное распределение случайной величины :

 

Произведем выборку случайной величины с функцией плотности и так далее. Полученная таким путем последовательность пар чисел ,будет иметь совместную плотность . Практическое использованиеэтого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда интегралы берутся в конечном виде.

 

Метод Неймана.

Пусть - N-мерная плотность распределения вероятностей случайного вектора с областью определения случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для формирования реализаций вектора на ЭВМ вырабатывается N+1 случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах соответсвенно, -- максимальное значение функции .

В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .

Реализации случайных чисел , не удовлетворяющих этому условию, отбрасываются.

Здесь в отличии от одномерного случая имитируются случайные точки не на плоскости под кривой ω(y), а в (N+1)-мерном объеме под N-мерной поверхностью .