Схема выбора без возвращений (без повторений).

Схема выбора без возвращений (без повторений).

Размещением из n элементов по т элементов (0 < т £ n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содер­жащее т элементов, т.е размещения — это выборки (комби­нации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Вычисляется по формуле .

 

Пример 1. Составить различные размещения по 2 из элементов мно­жества D = {а,b,с}; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b). Согласно форму­ле их число:

Перестановкой из n элементов называется размещение из n эле­ментов по n элементов, т.е перестановки — это выборки (ком­бинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Вычисляется по фор­муле .

Пример 2. Составить различные перестановки из элементов мно­жества Е = {2,7,8}; подсчитать их число.

Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие пе­рестановки: ( 2,7,8 ); ( 2,8,7 ); ( 7,2,8 ); ( 7,8,2 ); ( 8,2,7 ); ( 8,7,2 ). По фор­муле имеем: .

 

Сочетанием из n элементов по m (0 £ m £ n) элементов назы­вается любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества, т.е сочетания — это выборки (комбина­ции), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним эле­ментом, т. е. отличаются только составом элементов. Вычисляется по формуле

.

 

Пример 3. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по 2 элемента: (а, b); (а, с); (b, с). Их число: .

 

 

- 4 -

 

Задачи для самостоятельного решения.

В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

3. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами мож­но осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

6. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятий?

Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН? А если «слова» содержат не менее трех букв?

Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?

Примеры вычисления вероятностей с применением элементов комбинаторики.

Пример 1. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными?

Решение. Выбрать 5 шаров из 20 можно различными способами (все выборки – неупорядоченные подмножества, состоящие из 5 элементов), т. е. n= . Определим число случаев, благоприятствующих событию B – среди 5 вынутых шаров 3 будут черными. Число способов выбора 3 черных шаров из 8, находящихся в урне, равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2 белых шаров из 12 белых в урне. Следовательно, по основному правилу комбинаторики (правилу умножения), имеем: m= . По формуле классического определения вероятности находим, что .

Пример 2. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления?

Решение. а) Из 6 данных букв можно составить трехбуквенных слов (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и др.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т. е. m = 1. Поэтому вероятность появления события А – появление слова ЛОМ, по формуле классического определения вероятности равна .

б) Шестибуквенные слова отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т.е. .

Очевидно, что m = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие B) равна .

Пример 3. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение. Разыграть 5 билетов среди 25 студентов можно различными способами (все выборки – неупорядоченные

- 8 -

подмножества, состоящие из 5 элементов), т. е. n= . Определим число случаев, благоприятствующих событию B – среди 5 разыгрываемых билетов два билета окажутся у девушек. Число способов попадания 2 билетов 10 девушкам равно . Каждому такому выбору соответствует способов попадания 3 билетов 15 юношам. Следовательно, по основному правилу комбинаторики (правилу умножения), имеем: m= . По формуле классического определения вероятности находим, что

- 9 -

Схема выбора без возвращений (без повторений).

Размещением из n элементов по т элементов (0 < т £ n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содер­жащее т элементов, т.е размещения — это выборки (комби­нации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Вычисляется по формуле .

 

Пример 1. Составить различные размещения по 2 из элементов мно­жества D = {а,b,с}; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b). Согласно форму­ле их число:

Перестановкой из n элементов называется размещение из n эле­ментов по n элементов, т.е перестановки — это выборки (ком­бинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Вычисляется по фор­муле .

Пример 2. Составить различные перестановки из элементов мно­жества Е = {2,7,8}; подсчитать их число.

Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие пе­рестановки: ( 2,7,8 ); ( 2,8,7 ); ( 7,2,8 ); ( 7,8,2 ); ( 8,2,7 ); ( 8,7,2 ). По фор­муле имеем: .

 

Сочетанием из n элементов по m (0 £ m £ n) элементов назы­вается любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества, т.е сочетания — это выборки (комбина­ции), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним эле­ментом, т. е. отличаются только составом элементов. Вычисляется по формуле

.

 

Пример 3. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по 2 элемента: (а, b); (а, с); (b, с). Их число: .

 

 

- 4 -

 

Задачи для самостоятельного решения.