Уравнение кривой нормального распределения

Необходимо отметить, что форма кривой нормального распределения полностью определяется величиной s.

у – плотность вероятности

Чем меньше величина s, тем более остроконечную форму имеет кривая нормального распределения. s₁<s₂<s₃

Кривая нормального распределения имеет симметричную форму с точками перегиба при значениях х=±s, уровень точки перегиба у=0,6у_max. Максимальное значение при х=0

N – общее количество отклонений

n_i – частота в i-м интервале

k – количество интервалов

Площадь, ограниченная кривой распределения в пределах от –¥ до +¥ описывается выражением

Любой другой интеграл при x₁<x<x₂ определяет долю случайных величин, укладывающихся в эти пределы и всегда меньше единицы. Погрешность не будет отличаться больше, чем на ±х. Для технологических расчётов этот интеграл удобнее выразить как

Значение приведенного интеграла будет определяться функцией от z

Эта функция протабулирована, то есть её значения при различных z подсчитаны и сведены в таблицу*. Анализ табличных значений функции Ф(z) показывает, что в интервале z= ±3 (х= ±3s) располагаются 99,73% всех величин. Таким образом, если 6s не превышает допуска на контролируемый параметр, то возможна работа без брака, в противном случае он неизбежен.

Наличие Dс=D_ср-D_{ср доп} свидетельствует о том, что настройка оборудования выполнена с ошибкой, поэтому среднее значение поля рассеивания (центра рассеивания) не совпадает со средним значением по полю допуска.

Допустимое отклонение параметра D направлено в сторону уменьшения, то есть х₁ определится как разность среднего и минимально допустимого значения D

x₁=D_ср-D_{min доп}=Т/2+Dс

По этому значению z определяют табличное значение функции Ф(z₁).

Тогда вероятностный процент брака в сторону уменьшения значения контролируемого параметра определится как Pz₁=0,5(1-Ф(z₁)) 100%.

Аналогично определяется относительное отклонение в сторону увеличения параметра

x₂=D_{max доп}-D_ср=Т/2-Dс.

Pz₂=0,5(1-Ф(z₂))100%.

════════════════════════════════════════

По расположению кривой относительно допуска и т.д. можно определить категорию брака: исправимый или неисправимый.

Рассмотрим пример:

1) Дано:

вал мм

σ=0,005 мм

а) Т=0,025 мм

П_сл=6σ=6^.0,03 мм → работа без брака невозможна

б) определить процент брака при настройке без ошибки (ΔС=0)

в) определить средний диаметр, на который нужно настроить станок, чтобы исключить появление неисправимого брака, определить процент исправимого брака

необходимо иметь отклонение в сторону уменьшения диаметра вала!

мм – условие работы без брака

мм

мм

F(z₂)=0,4772 – половинное значение

2) Дано

вал D=20_-0,1

нормальное распределение с σ=0,025 мм

вершина кривой распределения смещена на ΔС=0,03 мм

Определить процент годных деталей

═════════════════════════════════════

Для оценки точности технологических процессов применяются не только кривые нормального распределения.

Если при выполнении какой-либо операции имеет место ярко выраженная систематическая переменная погрешность (размерный износ инструмента), то её оценивают с помощью кривой равной вероятности

Если же при выполнении операции имеет место совместное действие, скажем, размерного износа и увеличение силы резания в процессе затупления инструмента, распределение происходит по закону Симпсона или треугольника

Оценка точности с помощью кривых распределения является универсальным методом, то есть он применяется для оценки различных процессов. Использование данного метода позволяет дать оценку точности физического процесса и ее соответствие заданным допускам, сравнить процессы по точности, выявить стабильность и влияние факторов.

Недостатком метода является его направленность в прошлое, то есть точность оценивается уже после изготовления партии деталей. Не учитывается последовательность обработки детали, влияние и постоянных, и переменных погрешностей выявляется как рассеивание размеров. Метод исключает возможность оперативного вмешательства в ТП с целью повышения точности, а также не выявляет физической сущности факторов, влияющих на точность.

С точки зрения увеличения точности процесса он недостаточно пригоден.

В крупносерийном и массовом производстве для оценки точности применяют точечные и точностные диаграммы.

На точечной диаграмме отмечается контролируемый параметр деталей после выполнения конкретной операции. Для сокращения длины диаграммы иногда контролируют и проставляют размеры для группы деталей. В некоторых случаях отмечается средний параметр группы деталей.

П_сл – случайная сумманрная погрешность параметра

m – количество элементов в выборке

Точечные диаграммы достаточно просто преобразуются в точностные. На точностных диаграммах проставляется среднее значение параметра группы деталей, среднеквадратическое отклонение (в плюс и в минус), а также максимальное и минимальное значение контролируемого параметра в данной группе деталей. По поведению средней величины и изменению величины поля рассеивания судят об устойчивости и стабильности ТП. Считается, что ТП стабильный и устойчивый, если амплитуда колебания W и х_ср не превышает (0,4-0,5)Т допуска на данный параметр, то есть ТП может быть устойчивым и стабильным, неустойчивым и стабильным и т.д.

Смещение центра группирования погрешностей говорит о нестабильности процесса.

- уравнение, описывающее систематическую погрешность.

В более общем случае наряду со смещением центра группирования погрешности происходит изменение распределения.

σ – характеристика кривой

Считается,что техпроцесс стабилен и устойчив, если амплитуда колебаний средних значений и поля рассеивания не превышают (0,4…0,5)Т.