Функциональная схема системы

Содержание

 

1. Постановка задачи. 3

2.1.1. Функциональная схема системы.. 4

2.1.2. Экспериментальные данные. 4

2.2. Выполнение работы.. 5

2.2.1. Построение модели. 5

2.2.2 Нахождение оценок параметров по методу моментов. 5

2.2.3. График оценки плотности вероятности и гистограмма. 7

2.2.4. Оценивание функции распределения. 8

2.2.5. Проверка гипотезы о виде закона распределения. 9

 

1. Постановка задачи

 

Имеется система, состоящая из блоков, которые функционируют независимо друг от друга и могут в те или иные моменты времени выходить из строя. Некоторые из блоков дублируются, т.е. при отказе одного из блоков его функции может выполнять другой, что повышает надежность системы.

Если отказы некоторого блока представляют собой пуассоновский поток событий, то время его безотказной работы (τ) есть случайная величина, распределенная по показательному закону, т.е. её функция распределения:

где λ – положительный параметр (интенсивность отказов).

При этом событие ˝τ ≥ t˝ равносильно тому, что на интервале от 0 до t не происходит ни одного отказа, т.е. данный блок работает. Вероятность такого события равна:

 

Зная вероятность безотказной работы каждого блока как функцию от t, можно найти функцию распределения времени безотказной работы всей системы.

В курсовой работе задается функциональная схема системы, состоящей из блоков двух типов – с интенсивностями отказов λ₁ и λ₂, соответственно. Значения параметров λ₁ и λ₂ неизвестны, но их можно оценить на основании результатов эксперимента, используя методы математической статики, например метод моментов.

Считается, что проведено большое количество опытов, в каждом из которых фиксировалась продолжительность безотказной работы системы. Результаты опытов представлены в виде группированной выборки, т.е. указаны интервалы – [t_i-1, t_i] и n_i –количество значений случайной величины τ, попавших в соответствующий интервал.

В работе требуется:

1. На основании функциональной схемы построить математическую модель – функцию распределения времени безотказной работы системы и его плотность вероятности.
2. Применяя метод моментов, найти оценки параметров λ₁ и λ₂. Для этого

 

• Найти начальные моменты 1-го и 2-го порядка времени безотказной работы как функции λ₁ и λ₂.
• По экспериментальным данным вычислить соответствующие выборочные моменты.
• Приравняв «генеральные» моменты выборочным, решить получившуюся систему уравнений.

 

1. Построить гистограмму и сравнить её с графиком оценки плотности вероятности, полученной с использованием найденных оценок λ₁ и λ₂.
2. Построить выборочную функцию распределения и сравнить её с оценкой функции распределения, полученной с использованием найденных оценок λ₁ и λ₂.
3. Проверить гипотезу о виде закона распределения с помощью критерия Пирсона.

 

Выполнение работы

Функциональная схема системы

Функциональная схема системы изображена на рисунке 1.

λ2

Λ2

Λ1

Λ2

Рисунок 1 – Функциональная схема системы

Экспериментальные данные

Экспериментальные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Экспериментальные данные

Номер интервала i	Начало интервала ti-1	Конец интервала ti	Количество точек ni

Выполнение работы

Построение модели

 

Зафиксируем некоторый момент времени t>0.

Пусть событие А – безотказная работа системы в течении интервала времени (0,t).

Тогда обозначив через А_k безотказную работу k-го блока в течение этого интервала (k=1,2,3,4), в соответствии с функциональной схемой можно записать:

Отсюда, используя теоремы умножения и сложения, с учетом независимости в совокупности событий А₁,А₂,А₃,А₄ получим:

Считая, что время безотказной работы каждого блока распределено по показательному закону с параметрами λ₂,λ₁,λ₂, λ₂, соответственно, т.е.

Будемиметь:

Отсюда функция распределения времени безотказной работы системы:

 

(1)

Дифференцируя функцию распределения, получим плотность вероятности:

 

(2)

 

Таблица 2 – Значения высот прямоугольников гистограммы

 

Номер интервала i	Высота прямоугольника hi
	2.72711*10-4
	5.12254*10-4
	4.42233*10-4
	4.90142*10-4
	3.83269*10-4
	3.50101*10-4
	2.0269*10-4
	2.39543*10-4
	1.65837*10-4
	1.36355*10-4
	1.21614*10-4
	7.37055*10-5
	7.37055*10-5
	5.89644*10-5
	3.68528*10-5
	2.57969*10-5
	4.05381*10-5
	1.84264*10-5
	2.57969*10-5
	3.68528*10-6
	7.37055*10-6
	1.10558*10-5
	3.68528*10-6
	3.6852810-6
	6.1421310-7

 

Соответствующие графики изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 – График оценки вероятности и гистограмма

Содержание

 

1. Постановка задачи. 3

2.1.1. Функциональная схема системы.. 4

2.1.2. Экспериментальные данные. 4

2.2. Выполнение работы.. 5

2.2.1. Построение модели. 5

2.2.2 Нахождение оценок параметров по методу моментов. 5

2.2.3. График оценки плотности вероятности и гистограмма. 7

2.2.4. Оценивание функции распределения. 8

2.2.5. Проверка гипотезы о виде закона распределения. 9

 

1. Постановка задачи

 

Имеется система, состоящая из блоков, которые функционируют независимо друг от друга и могут в те или иные моменты времени выходить из строя. Некоторые из блоков дублируются, т.е. при отказе одного из блоков его функции может выполнять другой, что повышает надежность системы.

Если отказы некоторого блока представляют собой пуассоновский поток событий, то время его безотказной работы (τ) есть случайная величина, распределенная по показательному закону, т.е. её функция распределения:

где λ – положительный параметр (интенсивность отказов).

При этом событие ˝τ ≥ t˝ равносильно тому, что на интервале от 0 до t не происходит ни одного отказа, т.е. данный блок работает. Вероятность такого события равна:

 

Зная вероятность безотказной работы каждого блока как функцию от t, можно найти функцию распределения времени безотказной работы всей системы.

В курсовой работе задается функциональная схема системы, состоящей из блоков двух типов – с интенсивностями отказов λ₁ и λ₂, соответственно. Значения параметров λ₁ и λ₂ неизвестны, но их можно оценить на основании результатов эксперимента, используя методы математической статики, например метод моментов.

Считается, что проведено большое количество опытов, в каждом из которых фиксировалась продолжительность безотказной работы системы. Результаты опытов представлены в виде группированной выборки, т.е. указаны интервалы – [t_i-1, t_i] и n_i –количество значений случайной величины τ, попавших в соответствующий интервал.

В работе требуется:

1. На основании функциональной схемы построить математическую модель – функцию распределения времени безотказной работы системы и его плотность вероятности.
2. Применяя метод моментов, найти оценки параметров λ₁ и λ₂. Для этого

 

• Найти начальные моменты 1-го и 2-го порядка времени безотказной работы как функции λ₁ и λ₂.
• По экспериментальным данным вычислить соответствующие выборочные моменты.
• Приравняв «генеральные» моменты выборочным, решить получившуюся систему уравнений.

 

1. Построить гистограмму и сравнить её с графиком оценки плотности вероятности, полученной с использованием найденных оценок λ₁ и λ₂.
2. Построить выборочную функцию распределения и сравнить её с оценкой функции распределения, полученной с использованием найденных оценок λ₁ и λ₂.
3. Проверить гипотезу о виде закона распределения с помощью критерия Пирсона.

 

Выполнение работы

Функциональная схема системы

Функциональная схема системы изображена на рисунке 1.

λ2

Λ2

Λ1

Λ2

Рисунок 1 – Функциональная схема системы

Экспериментальные данные

Экспериментальные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Экспериментальные данные

Номер интервала i	Начало интервала ti-1	Конец интервала ti	Количество точек ni

Выполнение работы

Построение модели

 

Зафиксируем некоторый момент времени t>0.

Пусть событие А – безотказная работа системы в течении интервала времени (0,t).

Тогда обозначив через А_k безотказную работу k-го блока в течение этого интервала (k=1,2,3,4), в соответствии с функциональной схемой можно записать:

Отсюда, используя теоремы умножения и сложения, с учетом независимости в совокупности событий А₁,А₂,А₃,А₄ получим:

Считая, что время безотказной работы каждого блока распределено по показательному закону с параметрами λ₂,λ₁,λ₂, λ₂, соответственно, т.е.

Будемиметь:

Отсюда функция распределения времени безотказной работы системы:

 

(1)

Дифференцируя функцию распределения, получим плотность вероятности:

 

(2)