Формулы производных основных элементарных функций

1. 7.

2. 8.

3. 9

4. 10.

5. 11

6. 12.

 

Пример 1. Вычислить производные следующих функций:

1) .

Решение. Здесь главное действие – сумма, поэтому по правилу 4 .

По правилу 3 вынесем постоянные за знаки производных:

К первому слагаемому применим формулу 2 из таблицы производных, ко второму – формулу 3, к третьему - формулу 4. Получим:

.

2) .

Решение. Здесь тоже главное действие сумма, но второе слагаемое представляет собой частное, к которому применим правило 6, а третье – произведение, к которому применим правило 5:

 

Дифференцирование сложной функции

Если , , тогда называется сложной функцие й, где g(x) - промежуточный аргумент.

Например: - сложная в указанном смысле функция, у которой промежуточный аргумент .

Пусть для функций и , существуют производные и . Тогда сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

,(2)

Другими словами производная равна произведению производных всех функций по промежуточным аргументам. Эта формула приведена в таблице 1 под номером 7.

Если промежуточных функций больше, то в правой части формулы 2, добавляются дополнительные сомножители. Для удобства вычислений можно выстраивать цепочку всех промежуточных функций и от каждой брать производные, используя соответствующие правила и формулы.

 

Пример 2. Вычислить производные сложных функций:

1)

Решение: Цепочка выглядит так: Т.к. , то

2)

Решение:

3)

Решение: Цепочка сложности =

 

=

 

 

При введении понятия «производная» был использована ее физическая характеристика как скорость изменения функции. Тогда ускорение будет описывать производная от производной или производная второго порядка: . Производные второго порядка вычисляются по тем же правилам и формулам, что производные первого порядка. Также можно вычислить производные любого порядка.

Вопросы для самоконтроля

1.Закон движения материальной точки имеет вид , где - координата точки в момент времени . Тогда скорость точки при равна …

1) 2) 3) 4)

 

2. Производная функции равна…

1) 2)

3) 4)

3.Производная произведения равна …

1) 2)

3) 4)

4. Производная частного равна …

1) 2) 3) 4)

5.Установите соответствие между функцией и её производной:

1. A)

2. B)

3. C)

D)

E)

Ответы. 1) 4, 2) 1, 3) 4, 4) 4,

5) 1 – Е, 2 – С, 3 – А.

Задания для аудиторной работы

Пример 1 Вычислить производные функций

1 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Пример 2. Найти скорость и ускорение следующих функций в заданных точках.

1. 1)y = 2^{1/ x} х=1, 2) y = ln ctg 2x х=1,

2. 3)y = x arctg x х=0, 4) y = e^x cos x х=0,

3. 5) y = x²(1+ln x) х = е, 6) y = e^–x sin x х=0,

 

5.4. Контрольные задания № 7

Вычислить производные данных функций.

1.

а) б). в)

2.

б). в)

3.

а). б) в)

4.

а) б) в) .

5.

а) б)

6.

а) б) в)

7.

а) б) в)

8.

а) б) в)

9.

а). б). в).

10. а). б) в)

11.

а) б). в).

12.

а). б). в)

13.

а) б). в)

14.

15.

16.

б) в)

17.

а) б). в).

18.

а) - 3х ² б). в).

19.

а) б). . в).

20.

20.

 

 

Исследование функций

Известно, чтолюбое явление: конъюнктура рынка, сезонные колебания спроса на товар, прибыль и т.д. вначале изучаются с количественной стороны, а потом описывают функциональной зависимостью, т.е. формулой.

Например, анализ спроса на купальники показал, что он подчиняется формуле , где – некоторые постоянные, не меняющиеся в течении лет, – время (мес.). На основании приведенной формулы можно выяснить, при каких значениях спрос в будущем будет максимальным и каких именно величин он достигнет, при каких – минимальным, а также решать другие вопросы. Именно они входят в понятие «исследование функции».

Все исследования проводятся по общему плану.

План исследования функции.

1. Область определения функции. Выявление точек разрыва, поведение функции вблизи точек разрыва

2. Симметрия, точки пересечения с осями координат.

3. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов

4. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба

5. Асимптоты: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

6.Построение графика.

Первые два пункта детально изучались как в школьном, так и настоящем курсе. Поэтому рассмотрим пункты 3, 4, 5.

6.1.Основные понятия и определения

 

Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремумов

Определение 1. Функция , непрерывная на интервале называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение , т. е. из выполнения неравенства следует выполнение неравенства .

Определение 2. Функция , непрерывная на интервале называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение , т. е. из выполнения неравенства следует выполнение неравенства .

Признаки возрастания и убывания функции.

1.Если на отрезке , функция возрастает.

2.Если на отрезке , функция убывает

 

Определение 3. Пусть функция непрерывна и дифференцируема (имеет производную) на отрезке . Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех х из некоторой - окрестности точки х₀ выполняется неравенство , (). Их называют точками локального экстремума (см. рис.8.1 и 8.2)

Признак существования экстремума. Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы в точке функция имела экстремум, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна нулю (или не существовала) и достаточно, чтобы меняла свой знак. Причем, если производная при переходе через слева направо меняет знак с (+) на (–), то точка х₀ – точка максимума, если с (–) на (+) – точка минимума.

Из школьного курса математики известна геометрическая интерпретация производной. А Она численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке х = а кположительному направлению оси ОХ. Если угол острый, то функция возрастает, если тупой – убывает. В точках экстремумов касательная параллельна оси ОХ либо оси ОУ, либо ее нельзя провести. Функции, изображенные на рис 1 и 5, имеют минимум, на рисунках 2, и 5 - максимум. Если ка- сательная пересекает кривую (рис.3),, то экстремума нет

рис.1 рис.2

рис.3 рис. 4 рис.5

 

Порядок нахождения экстремумов функции:

1. Находим производную функции и решаем уравнение . К корням этого уравнения добавляем точки, в которых производная не существует. Такие точки называются критическими.

2. Определяем знаки вблизи критических точек на всех интервалах непрерывности.

3. Делаем выводы о наличии (или отсутствии) экстремумов и интервалов возрастания и убывания. Их называют интервалами монотонности.

4. Находим ординаты экстремальных точек из уравнения , где – абсцисса точки экстремума.

Пример 1. Определить, будет ли функция иметь точки экстремумов, а также найти интервалы монотонности функции,

Решение. Найдем область допустимых значений функции, потребовав неравенство нулю знаменателя: ,

откуда

Найдем первую производную:

.

Найдем экстремальные точки:

, т. к. , и , поэтому экстремумов нет.

Определим знак на каждом из интервалов непрерывности . Поскольку и для любых , и то знак будет всегда отрицательным. То есть на всех интервалах непрерывности наша функция будет убывать, что и демонстрирует рис. 6.

Рассмотрим поведение функции вблизи точек разрыва и . Для этого найдем односторонние пределы при и .

Начертим схематический график

 

рис. 6