Свойства неограниченного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтеральной функции, т.е.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е.

3. Неопределеннный интеграл от дифференциала некоторой функции F(x) равен самой функции с точностью до производной постоянной C

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла,

5. Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов каждой функции

таблица интегралов от простейших функций:

при a ¹ –1

Приведем еще две формулы, справедливость которых можно проверить дифференцированием.

Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным. Чаще подинтегральную функцию приходится преобразовывать, чтобы свести исходный интеграл к одному или нескольким табличным.

Один из эффективных приемов – метод подстановки: в интеграле вида òf(x)dx делают замену переменной, положив x = j(t) (j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию). Тогда dx = j`(t)dt и òf(x)dx = òf(j(t))j`(t)dt. Подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х (возвращение к исходной переменной). Функцию j(t) следует выбирать так, чтобы вычисление интеграла в правой части было максимально простым.

Интегрирование по частям. Если u и v дифференцируемые функции от х, то d(uv) = vdu + udv откуда, интегрируя, получим

uv = òvdu + òudv и òudv = uv – òvdu

Это соотношение называют формулой интегрирования по частям.

Подинтегральное выражение "разбивают на части" - u и dv, подбирая их так, чтобы òvdu был табличным или более простым, чем исходный.

Отметим, что при нахождении v по dv произвольную постоянную без потери общности полагают равной нулю.

тема 6. Определенный интеграл

Пусть функция у = ¦(x) определена на отрезке [ a,b ] и a < b.