Нелинейные операции над векторами

Скалярное произведение двух векторов

 

Углом между ненулевыми векторами и называется угол между лучами и , сонаправленными с векторами и соответственно и исходящими из одной точки О (рис. 10).

О

А

В

Рис. 10

Обозначение: .

Два ненулевых вектора и называются взаимно перпендикулярными (ортогональными), если .

Обозначение: .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то считают, что .

Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Угол между двумя векторами и находится в следующих пределах:

.

Понятие угла между векторами используется при определении понятия скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение: или .

.

Скалярным квадратом вектора называется число, равное скалярному произведению . Обозначение: ².

Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над векторами.

Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.

Геометрические свойства

Скалярного умножения векторов

Г1⁰. .

□ Пусть , тогда

или ;

или ;

или .

Обратно, пусть , тогда . ■

Г2⁰. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

□ .■

Из этого свойства получаем важное следствие:

.

Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора на направление, определяемое вектором .

Пусть даны два вектора , ÎV.

Возьмем в пространстве произвольную точку А и отложим от нее вектор , т.е. (рис. 11).

 

 

А

В

А1

В1

s

Рис. 11

 

Возьмем прямую s|| и зададим на ней направление вектором (такая направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точку А плоскость , через точку В – плоскость . Пусть , .

Проекцией (скалярной) вектора на направление, определяемое вектором , называется число, равное

, если ;

, если .

Обозначение: .

Г3⁰. .

Алгебраические свойства

Скалярного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. ; .

А3⁰. .

Следствие. . Это свойство можно распространить и на большее число слагаемых.

Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе , , то

.

□ По определению координат вектора , . Используя свойства Г1⁰,Г2⁰, А1⁰-А3⁰ и то, что , , и , получаем:

. ■

Следствие 1. .

Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).

.

Следствие 3. .

Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.

Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.

Приложение скалярного произведения