Методы вычисления минимума функции одной переменной

Метод последовательного перебора

Суть метода показана на рис. 1.65. В качестве начальных данных метода задаётся начальное приближение корня x ₀ и начальный шаг перебора h. Из точки начального приближения осуществляется с шагом h перебор значений в сторону уменьшения функции до тех пор, пока очередное значение функции не станет больше предыдущего значения. На этом этапе выполняется уменьшение шага h, например в 4 раза, с изменением его знака:

h = – h / 4

Далее процедура перебора выполняется с новым шагом h и так далее до тех пор, пока значение h не станет меньше заданной погрешности. Минимальное значение будет соответствовать последнему х в переборе.

Рис. 1.65. Суть метода последовательного перебора

Метод деления отрезком пополам

Суть метода показана на рис. 1.66. В качестве начальных данных метода задается отрезок [ a, b ], внутри которого расположен минимум. Отрезок [ a, b ] точкой с делится пополам:

с = (a + b) / 2

Вычисляются значения функции f (с – e) и f(с + ε), где ε — заданная погрешность. В зависимости от соотношения этих значений отрезок [ a, b ] сужается до половинного значения. Если f (с – e) < f(с + ε), то полагается b = с + ε. Если f (с – e) > f(с + ε), то отрезок сужается до а = с – e. Для получившегося отрезка [ a, b ] вновь находится точка с и процесс продолжается до тех пор, пока b – a не окажется меньше погрешности e. Минимум функции будет в точке с = (a + b) / 2.

Недостатком метода является то, что при сужении отрезка [ a, b ] в два раза функцию надо вычислять тоже два раза в точках f (с – e) и f (с + ε). От этого недостатка избавлен метод золотого сечения

Рис. 1.66. Суть метода деления отрезка пополам

Метод золотого сечения

Суть метода показана на рис. 1.67. В качестве начальных точек задается отрезок [ a, b ], внутри которого расположен минимум. Отрезок [ a, b ] делится по правилу золотого сечения на три отрезка:

с = a + q, d = b – q,

где: q = 2 / (3 + 5^1/2) * (b – a).

Далее, как и в методе деления отрезка пополам, проверяется значения f (c) и f (d). Если f (c) < f (d), то отрезок [ a, b ] сужается переносом в точку b = d. При этом полагается d = c и образуется новая точка c = a + q. Если f (c) > f (d), то отрезок [ a, b ] сужается переносом а в точку a = c. При этом полагается c = d и образуется новая точка d = b - q. При каждом сужении отрезка [ a, b ] для работы метода функцию надо вычислять только один раз. Это самый эффективный метод из всех приведенных при условии, что известен отрезок [ a, b ] с минимумом.

Рис. 1.67. Суть метода золотого сечения

Методы вычисления корня функции одной переменной

Метод простой итерации

В методе уравнение f (x) = 0 сводится к уравнению

x = x + f (x) (1)

В качестве начального приближения задается значение x _0. Далее по формуле (1) вычисляется новое значение x _1. Если | x ₁ – x ₀|>E (E —заданная погрешность), то полагается x ₀ = x ₁ и опять по формуле (1) вычисляется x ₁. Процесс продолжается до тех пор пока | x ₁ – x ₀| не станет меньше заданной погрешности E. Корень уравнения при этом в x ₁.

Недостатком метода является его плохая сходимость при произвольной функции f (x). Очень часто метод вообще не сходится к корню.