Определение (последовательность Коши).

Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, или последовательностью, сходящейся в себе, если N: n>N, p-натурального следует, что

(или )

Теорема (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1) ⁿ не имеет предела. Очевидно, что , поэтому если выбрать = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

(), n>N, m>N (), |x_n-x_m| .

 

Критерий Коши

Определение. Говорят, что последовательность { } удовлетворяет условию Коши, если для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров m и n таких, что n≥N, m≥N, справедливо неравенство < (*). Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной. Условие (*) можно сформулировать иначе: для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров n N и всех натуральных p выполняется условие: . Теорема (критерий Коши).Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность { } сходится и . Зададим >0, тогда существует такой номер N, что для всех номеров n N выполняется неравенство . Пусть n N и m N, тогда , то есть выполняется условие Коши. Достаточность. Пусть { } удовлетворяет условию Коши, то есть для любого >0 существует номер N, что для n N и m N выполняется неравенство . Пусть =1, тогда существует номер N такой, что при n N и m N выполняется . В частности, если n N и m=N , то , то есть при n N . Это значит, что последовательность {x }, n=N , N +1,…ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { }. Пусть . Зададим >0. Тогда существует такой номер K ,что для всех номеров K K или, что то же самое, для всех n n выполняется неравенство Обозначим через =max{ N,n } и зафиксируем некоторое n . Тогда для всех n N имеем , что и означает, что

 

Пример. Рассмотрим последовательность : x_n = 1+1 / 2+1 / 3+....+1 /n

Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |x_n+p - x_n| = , то при p=n |x_n+p - x_n|> . Очевидно, что определение фундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела. 3.8 Монотонные последовательности

Определение.

1. Последовательность возрастает, если

x_n< : каждый член последовательности меньше последующего;

2. Последовательность убывает, если

(): каждый член последовательности больше последующего;

3. Последовательность не возрастает, если

: каждый член последовательности не меньше последующего;

4. Последовательность не убывает, если

(): каждый член последовательности не больше последующего;

5. Последовательность называется монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей, или не возрастающей, или не убывающей.

6. У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

7. Предел последовательности, все члены которой равны числу , равен .

8. Теорема 13. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .

 

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что

Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства

откуда и следует, что .

Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:

. Некоторые замечательные пределы.