Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Наивероятнейшее число успехов.

Студент должен знать:

- формулу полной вероятности и формулу Байеса;

- формулу Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона;

Студент должен уметь:

- находить вероятность событий, используя формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона,

- находить наивероятнейшее число успехов.

Литература: [5] стр.44-59.

Основные теоретические сведения

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез)Н₁, Н₂ ,..., Н_n, то вероятность события А может быть вычислена по формуле полной вероятности:

,

где p(H_i) – вероятность гипотезы Н_i, ,

p(A\H_i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были а в результате опыта появилось событие А то, с учетом появления этого события, «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.

Примеры

Пример1. В продажу поступили электрические лампочки, причем партия лампочек в 1000 штук поступила с одного предприятия, а партия в 500 штук – с другого. Известно, что на первом предприятии брак составляет 5 % продукции, а на втором 3 %. Какова вероятность приобрести нестандартную лампочку? Какова вероятность того, что куплена лампочка из первой партии, если она оказалась стандартной?

Решение. Выдвинем следующие гипотезы: Н₁ – купленная лампочка принадлежит первой партии, Н₂ – купленная лампочка принадлежит второй партии. Тогда

;

По формуле полной вероятности:

Для получения ответа на второй вопрос воспользуемся формулой Байеса. Вероятность

Пример2. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение: Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы H₁ – деталь изготовлена цехом I. H₂ – II цехом. События H₁ и H₂ – образуют полную группу

; .

– условная вероятность события А при условии гипотезы H₁.

– условная вероятность события А при условии гипотезы H_{2 .}

По формуле полной вероятности:

.

 

Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть некоторое испытание повторяется практически в одинаковых условиях несколько раз, причем вероятность интересующего нас события в каждом испытании и результаты разных опытов независимы. Подобные условия опыта называются схемой Бернулли. Обозначим число испытаний через n, вероятность успеха в одном опыте p, а q = 1-p – вероятность неуспеха. Общее число успехов может быть целым числом от 0 до n. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит ровно k раз выражается формулой Бернулли

Часто на практике необходимо решать задачу: какое из возможных значений успеха имеет самую большую вероятность? В рассмотренном примере это 0 успехов.

В общем случае наибольшая вероятность приходится на значения k, заключенные на отрезке [np-q, np+p]. Длина этого отрезка равна единице, поэтому если np + p не является целым числом, то наиболее вероятное k единственно и равно целой части от np + p. Если же np + p целое, то наивероятнейших значений два np – q и np + p. В рассмотренном примере np + p равно 4/6 и его целая часть равна 0.