Закон Ома в интегральной форме

Для любой точки внутри проводника напряженность результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил . Подставляя в (6) получим:

Умножим скалярно обе части на вектор численно равный элементу d𝑙 длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока

Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов и d , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде

С учетом 𝑱 = 𝑰 /S

Интегрируя по длине проводника 𝑙 от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем:

Интеграл

численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что

Таким образом,

где и - значения потенциала в т.1 и т. 2.

Интеграл, содержащий вектор напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс , действующей на участке 1-2.

 

(9)

Интеграл

 

Равен сопротивлению участка цепи 1 – 2.

Подставляя (10, 9 и 8) в (7), окончательно получим

(11)

Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включенных на участке.

При замкнутой внешней цепи сумма падений электрических потенциалов и эдс источника равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во всей внешней цепи

= 𝑰r, U = 𝑰r, или

Отсюда,

 

ЗАКОН ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМАХ

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Если на концах участка проводника имеется разность потенциалов тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

По определению I= q/t, откуда q = I . Следовательно, А = IUt.

Так как работа идет на нагревание проводника, то выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе электростатических сил

Q = A U t (13)

Соотношение (13) выражает закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. Введем плотность тепловой мощности , равную энергии, выделенной за единицу времени прохождения тока в каждой единице объема проводника.

где S - поперечное сечение проводника, 𝑙 – его длина. Используя (13) и соотношение

получим

 

Но 𝐼/S = а ρ = 1/σ, тогда

Ома в дифференциальной форме = U (14)

Формула (14) выражает закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.