Вычисление определителей и выполнение действий над матрицами.

Практическое занятие № 1

Вычисление определителей и выполнение действий над матрицами.

Нахождение матриц, обратных данным

Цель занятия: 1) знать правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядка;

2) знать правила выполнения действий с матрицами;

3) знать алгоритм вычисления матрицы, обратной данной;

4) уметь вычислять определители 2-го и 3-го порядка;

5) уметь выполнять действия с матрицами;

6) уметь вычислять матрицу, обратной данной.

Указания к выполнению практической работы

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение. Определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов главной диагонали (a₁ и b₂) и побочной (b₁ и a₂), то есть

.

Поэтому .

Пример 2. Вычислить определитель .

Решение. Определитель третьего порядка можно вычислить по формуле

Получаем

.

Пример 3. Умножить матрицу на матрицу .

Решение. Известно, что матрицу A размера (m − число строк, n − число столбцов) можно умножить на матрицу B размера , если n = p, причем в результате получится матрица размера . Элемент c_ij (расположен на пересечении i- й строки и j -го столбца) результирующей матрицы C вычисляется по формуле

,

то есть равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.

В данной задаче матрицы A и B имеют размер и соответственно, и, значит, перемножаемы (n=p= 2), а результирующая матрица C будет иметь размер .

Найдем c₁₁, для чего умножим поэлементно первую строку матрицы A на первый столбец матрицы B и результаты сложим:

.

Вычислим c₁₂, умножив первую строку матрицы A на второй столбец матрицы B и сложив результаты:

.

Аналогично, находим остальные элементы

,

,

,

.

Итак,

.

Пример 4. Выполнить действия с матрицами: где

Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий. Матрица А имеет порядок 3×5, матрица В - 5×2. Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получится матрица порядка 3×2. У второго произведения матрица С имеет порядок 3×4, матрица D - 4×2, умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок 3×2. Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрицы порядка 3×2.

Следовательно

где

Итак,

2) где

Итак,

Тогда,

Ответ:

Пример 5. Найти матрицу, обратную матрице .

Решение. Найдем определитель матрицы А:

∆

Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу.

Обратная матрица определяется по формуле

= ,

где алгебраические дополнения элементов данной матрицы А.

Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

Обратная матрица имеет вид

Необходимо сделать проверку

т.е.

Варианты практической работы

Задание №1. Выполнить действия над матрицами.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание № 2. Найти матрицу, обратную матрице .

1. .	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

 

 

Практическое занятие № 2

Решение.

а) Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости:

Число является чисто действительным числом (его мнимая часть равна нулю), оно изобразится вектором , лежащем на действительной оси (т.е. оси Ox).

Число изобразится вектором , находящемся в III четверти.

б) Выполним действия в алгебраической форме записи:

1)

2)

3)

4)

Пример 2. Вычислить модуль и аргумент комплексные числа

Решение.

(т.к. IV четверть).

 

Варианты практической работы

Даны комплексные числа и .

а) Построить и в комплексной плоскости.

б) Найти в алгебраической форме .

в) Вычислить модуль и аргумент комплексных чисел и .

Практическое занятие № 3

Варианты практической работы

Закон распределения дискретной случайной величины задан в виде таблицы.

Найти: 1) математическое ожидание ;

2) дисперсию ;

3) среднее квадратическое отклонение ;

4) начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Построить многоугольник распределения.

 

1.								2.
	0.2	0.3	0.2	0.1	0.2			0.1	0.3	0.2	0.1	0.3
3.								4.
	0.2	0.3	0.1	0.2	0.2			0.3	0.1	0.2	0.1	0.3
5.								6.
	0.1	0.4	0.1	0.3	0.1			0.1	0.3	0.1	0.4	0.1
7.								8.
	0.2	0.3	0.1	0.3	0.1			0.1	0.4	0.1	0.3	0.1
9.								10.
	0.1	0.2	0.1	0.5	0.1			0.1	0.5	0.1	0.2	0.1

 

 

Практическое занятие № 4

Варианты практической работы

Исследовать функцию и построить график.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Литература:

1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. - М.: Издательский центр "Академия", 2011. -304 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Наука, 1990.

3. Григорьев В. П. Элементы высшей математики. – М.: Издательский центр «Академия», 2004

4. Спирина М. С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательский центр «Академия», 2007

 

 

Практическое занятие № 1

Вычисление определителей и выполнение действий над матрицами.