Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

(4.1)

– циркуляция по замкнутому контуру вектора индукции магнитного поля равна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность S, ограниченную контуром, умноженной на магнитную постоянную Гн/м. Cила тока считается положительной, если направление тока в точке пересечения с поверхностью S совпадает с направлением положительной нормали к поверхности в этой точке, и отрицательный, если направление тока противоположно направлению этой нормали. Положительная нормаль определяется по правилу правого винта по отношению к направлению обхода Г (см. рис.6).

Если один из токов охватывается контуром N раз, то в формуле (4.1) такой ток будет складываться N раз.

Задача 6

По длинным проводам различной конфигурации текут разные токи (см. рис.6). Найдите циркуляцию вектора индукции магнитного поля, созданного этими токами, по замкнутому контуру Г.

1 А, 2 А, 3 А, 4 А, 5 А.

Решение:

Нарисуем вектор нормали в соответствии с обходом Г по правилу правого винта (см. рис.6). Таким образом можно определить знак каждой силы тока, входящей в формулу (4.1) и найти циркуляцию:

Тл×м

В этом примере учтено, что ток не пронизывает контур, поэтому и не входит в алгебраическую сумму в формуле (4.1)

Ответ: 2,51 мкТл×м.

 

Диполи в электрическом и магнитном полях.

Система из двух одинаковых по модулю, но разных по знаку электрических зарядов q, находящихся на очень малом расстоянии друг от друга l (по сравнению с расстоянием до точки наблюдения r), называется диполем. Диполь характеризуется электрическим моментом , где – вектор, направленный из отрицательного заряда к положительному. Диполь, взаимодействуя с электрическим полем, обладает потенциальной энергией взаимодействия

(5.1)

Стремясь занять в пространстве положение с наименьшей потенциальной энергией (5.1), диполь разворачивается своим моментом вдоль напряженности поля . В неоднородном электрическом поле на такой диполь действует сила

, (5.2)

которая стремится втянуть диполь в область с большей напряженностью.

Небольшой виток площадью S с током I обладает магнитным моментом , который направлен вдоль положительной нормали , определяемой по правилу правого винта относительно направления тока по этому витку. Такой магнитный момент, взаимодействуя с внешним магнитным полем с индукцией , обладает энергией взаимодействия

(5.3)

Аналогично электрическому диполю магнитный диполь также стремится принять положение с минимальной энергией (5.3) и разворачивается своим моментом вдоль поля , а в неоднородном магнитном поле на него действует сила (5.2), втягивающая такой виток в область с бόльшими значениями .

Задача 7

Электрический диполь с дипольным моментом , удерживают в неоднородном электрическом поле на оси х под углом a к ней в точке с координатой . Определите проекцию силы , действующей на диполь, если напряженность электрического поля на оси х меняется по закону ,

где 1 Кл×м; 1 В/м; b = 1 м; = 1 м; a = 60°.

Решение:

По формуле (5.1) найдем зависимость энергии взаимодействия диполя и электрического поля:

Из формулы (5.2) найдем проекцию силы на ось х в точке :

Н

Ответ: 2,5 Н

6. Э.Д.С. индукции и самоиндукции

Рассмотрим замкнутый контур Г произвольной формы в неоднородном магнитном поле, который ограничивает некоторую поверхность S (см. рис.8). Потоком индукции магнитного поля сквозь эту поверхность называется величина

, (6.1)

где a – угол между вектором и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает.

При изменении потока Ф во времени в контуре Г возникает Э.Д.С. индукции – электродвижущая сила, равная скорости изменения магнитного потока (закон электромагнитной индукции Фарадея):

(6.2)

Если бы контур был сделан из проводящего вещества, то по нему потек бы электрический ток.

Поток Ф может изменяться по следующим причинам.

1) Изменяется индукция магнитного поля .

2) Изменяются геометрические размеры контура, т.е. изменяется площадь S.

3) Изменяется ориентация контура в пространстве, т.е. изменяется угол a.

В случае 1) в пространстве возникает вихревое электрическое поле , действующее на свободные электроны проводящего контура.

В случаях 2) и 3) из-за перемещения проводника в магнитном поле на свободные электроны в нем действует сила Лоренца.

Если рассмотреть контур, по которому протекает ток I (см. рис.9), то индукция порождаемого этим током магнитного поля создает сквозь поверхность контура поток, пропорциональный силе тока I:

, (6.3)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Если ток в контуре начинает изменяться, то в нем возникнет Э.Д.С. самоиндукции:

(6.4)

Знак "–" в формулах (6.2) и (6.4) означает, что при изменении магнитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая Э.Д.С., которая стремится уменьшить изменение потока. Это правило Ленца. В результате увеличения силы тока на рис. 9, а следовательно и индукции , возникает вихревое электрическое поле, направленное против тока I в контуре.

Задача 8

Квадратный проводящий контур со стороной b = 1 м пронизывает однородное магнитное поле под углом a = 30° к плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону . Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 1 с, если 1 Тл; t = 1 с.

Решение:

Определим зависимость магниного потока от времени:

По формуле (6.2) определим модуль Э.Д.С. индукции:

В

Ответ: 4 В

Задача 9

По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 1 с, если и ток и индуктивность изменяются со временем по законам , , где 1 Гн; 1А; t = 1 с.

Решение:

Воспользуемся формулой (6.4):

В.

Ответ: 7 В.