Функциональные математические модели

Математическую модель М объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описы­вающих процесс функционирования этого объекта и образующих в общем случае следующие подмножества [27] (рис.1.6): совокуп­ность входных воздействий на систему совокупность воздействий внешней среды совокупность внутренних (собственных) параметров системы совокупность выходных характеристик системы

При этом входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры системы являются независимыми переменными, а выходные характеристики систе­мы - зависимыми переменными. Среди этих пере­менных могут быть управляемые и неуправляемые. Последние не зависят от желания расчетчика, работающего с моделью. Иногда управляемые величины называют параметрами.

Рис. 1.6. Схема математической модели

Рассмотрим математическую модель для расчета пролетного строения моста. Постоянная, временная и другие нагрузки являются входными воздействиями. Выходными переменными являются показатели напряженно-деформированного состояния, управлять которыми расчетчик может путем изменения внутрен­них параметров системы. Последние могут быть представлены геометрическими характеристиками конструкций и физическими свойствами материала, из которого они изготовлены. Причем конструктивную схему пролетного строения и размеры его элементов обычно назначают предварительно и в этом смысле они являются неуп­равляемыми параметрами, а размеры поперечных сечений — ти­пичный представитель управляемых параметров. К воздействиям внешней среды здесь относятся возможные осадки опор и темпе­ратурные воздействия, которые вызывают появление дополни­тельных напряжений и тем самым влияют на выходные пе­ременные.

Математическое описание поведения объекта моделирования во времени t можно представить в следующем виде:

(1.8)

а для статических моделей - в форме равенства

(1.9)

Эти зависимости называются законами функционирования систе­мы: они могут быть заданы в виде функции, функционала, логи­ческих условий, или в алгоритмической либо табличной формах. Операторы F, f преобразуют независимые переменные в зависимые. Реализация этих преобразований выполняется с помощью алгоритма функционирования А. Один и тот же закон функционирования F системы S может быть обеспечен различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования А. Совокупность зависимостей выходных характеристик при законе функционирования типа (1.9) называется выходной траекторией. Если фиксировать отдель­ные моменты времени, то состояния системы S в эти моменты времени могут быть интерпретированы как координаты точки в фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория, а совокуп­ность всех возможных значений состояний называется простран­ством состояний объекта моделирования.

Подготовка данных и обработка результатов

Моделирования систем

Исходные данные для моделирования и его результаты часто представляют собой массивы случайных чисел. Это относится как к составляющим вектора внешних сил (постоянная нагрузка, временная нагрузка и др.), так и к выходным данным, например к результатам многократных повторений вычислительного эксперимента (прогонов модели). Такие массивы должны быть упорядо­чены с целью получения данных, удобных для моделирования или разработки практических рекомендаций по результатам мо­делирования. Обработку массивов случайных чисел производят по правилам математической статистики.

Остановимся на тех правилах, которые представляют непосредственный интерес для решения следующих задач:

• как подобрать подходящий теоретический закон распреде­ления случайных чисел с тем, чтобы использовать его для генерации случайных чисел при моделировании систем или для прогнозирования наибольших (наименьших) возмож­ных значений этих чисел;

• как правильно прогнозировать наибольшие или наимень­шие значения случайных чисел;

• как исключить ошибки получения экспериментальных дан­ных и как отсеивать ложные результаты;

• как найти минимальное, но необходимое число опытов, в том числе прогонов модели, для получения достоверных результатов;

• можно ли объединять две группы случайных величин в одну общую группу.