Динамическая модель замкнутого производства как системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

Замкнулая си-ма – эк.с-ма, в которой все отрасли являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими отраслями. В замкнутой модели объем затрат каждого сектора равен объему произведенной.

Динамическая модель замкнутой производственно-экономической с-мы, представляющей собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений выглядит так (в матричной записи):

(3)

Решение с-мы (3) характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и F, когда все ресурсы ВВП направляются на расширенное воспроизводство.

1. Общее решение системы (3) имеет следующий аналитический вид:

(4)

Параметры аналитического решения (4) , , получаются в следующей последовательности:

a) - корни характеристического уравнения n-го порядка.

(5)

б) - соответствующие собственные векторы матрицы , , и являются решениями (бесконечными) алгебраической системы однородных уравнений:

, (6)

где, 0 (“нуль”) – нулевой вектор – столбец размерности ;

в) - постоянные, определяемые из системы уравнений:

(7)

где, Y(0) – вектор–столбец конечного использования продукции отраслей в базисном году.

В общем случае решение (7) содержит несколько отличных от нуля компонент . Поэтому, единственная траектория системы (3), выходящая из начальной точки Y(0), представляет собой комбинацию экспонент, растущих с различными темпами.

7. Пусть . Для матрицы существует теорема Перрона:

а) матрица имеет положительное собственное число , которое превосходит модули всех остальных собственных чисел;

б) для , называемого корнем Фробениуса – Перрона, выполняется условие:

.

в) собственному числу отвечает единственный собственный вектор , все координаты которого строго положительны и удовлетворяют условию:

8. Так как , , - соответствует вектор .

9. Значение в межотраслевой динамической модели находит объяснение технологического темпа прироста ВВП, а вектор - отраслевой структуры ВВП.

59. Алгоритм численного решения модели динамического МОБа и экономическое содержание его параметров

1. Простейшая динамическая модель МОБа с постоянными коэффициентами выглядит так: , (1)

где - вектор - столбец объемов производства в году t (t =0,1,2,…,T), (j =1,2,…,n); - вектор – столбец абсолютных приростов производства в году t (вектор – столбец производных функций); - вектор – столбец потребления (включая непроизводственное потребление) в году t; - матрица коэффициентов прямых материальных затрат; - матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства.

2. Неоднородная система дифференциальных уравнений (1) эквивалентна системе: , (2)

где - вектор – столбец конечного использования продукции отраслей в году t, (t =0,1,2,…,T), (i =1,2,…,n); - вектор – столбец абсолютных приростов конечной продукции по отраслям.

3. Матрица А продуктивна или неразложима, матрица Fневырожденна , (поэлементно).

4. Решения системы (2) при в силу неотрицательности матриц и гарантируют, что , , .

5. Динамическая модель замкнутой производственно – экономической системы, представляющей собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений выглядит так (в матричной записи): (3)

Решение системы (3) характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и F, когда все ресурсы ВВП направляются на расширенное воспроизводство.

6. Общее решение системы (3) имеет следующий аналитический вид: (4)Параметры аналитического решения (4) , , получаются в следующей последовательности:

a) - корни характеристического уравнения n-го порядка.

(5)

б) - соответствующие собственные векторы матрицы , , и являются решениями (бесконечными) алгебраической системы однородных уравнений: , (6)

где, 0 (“нуль”) – нулевой вектор – столбец размерности ;

в) - постоянные, определяемые из системы уравнений: (7)где, Y(0) – вектор–столбец конечного использования продукции отраслей в базисном году.

В общем случае решение (7) содержит несколько отличных от нуля компонент . Поэтому, единственная траектория системы (3), выходящая из начальной точки Y(0), представляет собой комбинацию экспонент, растущих с различными темпами.

7. Пусть . Для матрицы сущ. теорема Перрона:

а)матрица имеет положительное собственное число , которое превосходит модули всех остальных собственных чисел;

б)для , называемого корнем Фробениуса – Перрона, выполняется условие: .в)собственному числу отвечает единственный собственный вектор , все координаты которого строго положительны и удовлетворяют условию:

8. Так как , , - соответствует вектор .

9. Значение в межотраслевой динамической модели находит объяснение технологического темпа прироста ВВП, а вектор - отраслевой структуры ВВП.