Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости.

В разделе способы задания прямой линии на плоскости мы показали, что конкретную прямую можно определить, если указать принадлежащую ей точку и направляющий вектор прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на прямой a точку и направляющий вектор этой прямой . Опишем прямую a с помощью уравнений.

Возьмем произвольную точку плоскости . Мы можем вычислить координаты вектора по координатам точек его начала и конца: . Очевидно, что множество всех точек задают прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и записывается в виде уравнения , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид . Уравнения полученной системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Смысл такого названия прост: координаты всех точек прямой могут быть вычислены по параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида при переборе всех действительных значений параметра .

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости , а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой. На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a1 || b). Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры)

Прямая и плоскость в пространство могут: а) не иметь общих точек; б) иметь ровно одну общую точку; в) иметь хотя бы две общие точки. На рис. 30 изображены все эти возможности. В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || . В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О. В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а . Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости . Предположим, что прямая m пересекает плоскость в точке Q.Если m перпендикулярна каждой прямой плоскости , проходящей через точку Q, то прямая m называется перпендикулярной к плоскости . Трамвайные рельсы иллюстрируют принадлежность прямых плоскости земли. Линии электропередачи параллельны плоскости земли, а стволы деревьев могут служить примерами прямых, пересекающих поверхность земли, некоторые перпендикулярные плоскости земли, другие — не перпендикулярные (наклонные).