Изучение распределения случайной величины. Газ Лоренца

Принадлежности: доска Гальтона и шарики – свинцовая дробь, полиэтиленовые гранулы, крупа и т.д.

Цель данной работы:

· продемонстрировать, как в простой динамической системе, в которой все взаимодействия носят детерминированный (причинный) характер и нет никакого случайного механизма типа колеса рулетки или броска наудачу, как в следующей работе, тем не менее возникает случайное поведение;

· показать, как для этих случайных величин при росте длины серии испытаний проявляются законы теории вероятностей - в частности, устанавливаются распределение вероятностей, близкое к распределению Гаусса;

· наконец, основная цель – проиллюстрировать, как, не делая большого числа испытаний, можно методом Стьюдента определить среднее значение и характерную ширину кривой распределения изучаемой случайной величины.

До недавнего времени считалось, что в отсутствие случайных внешних шумов или внутренних флуктуаций хаотическое поведение возможно лишь в очень сложных системах (здесь мы не касаемся вероятностного квантово-механического описания объектов микромира – электронов, фотонов, атомов и др.). Примером такой сложной системы с большим числом степеней свободы может служить газ, в одном кубическом сантиметре которого при нормальных условиях содержится 10¹⁹ молекул. В таких системах случайность связана с тем, что мы никогда не можем точно задать начальные условия для всех переменных – трех координат и трех составляющих скорости для каждой молекулы и поэтому вынуждены использовать усредненное статистическое описание.

В последние годы было обнаружено, что хаотическое, случайное поведение возможно даже в очень простых динамических системах, в частности, в системе из двух биллиардных шаров на столе. Доступное изложение этих вопросов содержится, например, в статьях [8, 9]. Стало понятно, что статистические закономерности возникают у систем, движения в которых неустойчивы. Неустойчивыми называются движения, при которых малое изменение начальных данных приводит к нарастающим различиям траекторий. При полной неустойчивости это различие растет со временем экспоненциально.

Примером одной из самых неустойчивых динамических систем является двухмерный газ Лоренца, изображенный на рисунке 10.1.1. Представим себе, что на плоскости размещены кружки одинакового радиуса, центры которых образуют периодическую, например, квадратную решетку. Эти кружки принято называть рассеивателями. Рассмотрим движение материальной точки между рассеивателями, при котором точка, достигнув одного из рассеивателей, упруго отражается от него по закону «угол падения равен углу отражения». Такая динамическая система предложена Г.А.Лоренцем в начале ХХ века как модель электропроводности металлов. Как видно из рисунка 10.1.1, траектории, вышедшие из близких точек под близкими углами, очень быстро расходятся: их направления становятся разными, и происходит «потеря памяти» о начальных данных. Заметим, что, если вместо кружков взять многоугольники с плоскими гранями, мы получим гораздо более устойчивую систему.

Рис. 10.1.1. Неустойчивость лучей при рассеивании на цилиндрах	Рис. 10.1.2. Установка для наблюдения случайного движения шарика

Авторы использовали в опытах доску Гальтона, имеющую внизу 48 карманов шириной 1.0 см и высотой 14 см. Рассеивателями служили гвозди диаметром 1.0 мм, вбитые взаимно перпендикулярными рядами на расстоянии 1.0 см друг от друга. Всего на доске имелся 41 горизонтальный ряд рассеивателей. Наблюдали движение свинцовых шариков (дробинок) диаметром 2.0 мм. Шарики выпускались на решетку сверху вблизи оси симметрии, которая приходилась на границу между 24 и 25 карманами. Регистрировался номер ячейки, в которую попадал шарик; счет начинался от левого края доски. Этот номер можно понимать как координату соответствующей ячейки, измеряемую с точностью в 1 см; для шариков, угодивших в первую ячейку, x = 1 см, во вторую - x = 2 см и так далее. Результаты одной из серий испытаний приведены в таблице 10.1.1.

Таблица 10.1.1 (13.08.2002)