Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики.

Самостоятельная работа (4 часа)

Цель: Выработать навык построения графиков степенной и показательной функций.

Показательная функция

 

y = a^x

y

x

a>1

a<1

y

x

y=2x

y=0,5x

y=3x

 

 

Степенная функция

 

y = xⁿ

y

x

y=x2

y=x4

y

x

y=x3

y=x5

 

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = ; y = ; y = ^-1

Форма контроля: проверка конспекта и устный опрос.

 

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график.

Самостоятельная работа (2 часа)

· изучить свойства логарифмической функции.

· построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

 

Функция y= , (х ) называется логарифмической функцией.

 

Логарифмическая функция y= является обратной по отношению к показательной функции у₌ (х ). Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

 

 

y

x

y=log2 x

y=log0,4 x

y=log4 x

y

x

a>1

a<1

 

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: D(y) =R₊.

2) Область значений функции: E(y) =R.

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: =0, =0,.

4) Функция y= , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функцияy= , (х , убывают в промежутке . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4. Найти область определения функции: y=

 

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

 

Так как основание логарифма8 >1, то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: т.е.

 

Последняя система равносильна неравенству: ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) (3;5].

 

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = log_ax?

3. В каком случае функция у = log_ax является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = log_ax принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. (Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = log_ax определена при любом х

2. Функция у = log_ax определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = log_ax – возрастающая при а >1.

8. Функция у = log_ax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = log_ax пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №14