Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Если для дифференциального уравнения выполнено условие = , его называют уравнением в полных дифференциалах: в этом случае существует функция , для которой выражение является ее полным дифференциалом. Так как полный дифференциал функции имеет вид , то должны выполняться равенства и . Если функция найдена, то равенство = , где − произвольная постоянная величина, задает семейство решений дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции используют стандартный алгоритм, который иллюстрирует приведённый ниже пример.

Пример 1.6. Решить уравнение , предварительно удостоверившись, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Решение. 1) Вычислим производные =3 и =3. Равенство = подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2) Учитывая, что , вычислим = + . В нашем случае имеем:

= + = + . (1.7)

3) Вычислим производную = – . В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражение и (1.7), получаем = .

4) Интегрируя, находим функцию = = .

5) Подставляя в (1.7), записываем общее решение заданного уравнения

= + = = .

Ответ. = = .

Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.6.1.		1.6.16.
1.6.2.		1.6.17.
1.6.3.		1.6.18.
1.6.4.		1.6.19.
1.6.5.		1.6.20.
1.6.6.		1.6.21.
1.6.7.		1.6.22.
1.6.8.		1.6.23.
1.6.9.		1.6.24.
1.6.10.		1.6.25.
1.6.11.		1.6.26.
1.6.12.		1.6.27.
1.6.13.		1.6.28.
1.6.14.		1.6.29.
1.6.15.		1.6.30.

1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных
уравнений 1-го порядка

Для нахождения уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка по заданным геометрическим свойствам кривых составляют уравнение , связывающее координаты произвольной точки кривой и производную функции . Напомним, что геометрический смысл производной − тангенс угла наклона касательной к кривой в точке .

На рисунке 1.1 представлена некоторая кривая . Для произвольной точки этой кривой построены касательная и нормаль и выделены точки пересечения касательной и нормали с осями и , именно: а) для касательной – точки и ; б) для нормали – точки и .

Рис.1.1.

Геометрические свойства кривой обычно задаются условиями на соотношения между длинами отрезков , , , , , , и – отрезки касательной, – подкасательная, и – отрезки нормали, – поднормаль (см.рис.1.1). Каждое такое соотношение есть дифференциальное уравнение, определяющее совокупные геометрические свойства кривой. Решая уравнение, находят соответствующее семейство кривых с заданными свойствами. Задавая начальные условия, из семейства кривых выделяют единственную кривую.

Ниже приведены формулы длин основных характерных отрезков кривой , , , , , Величиной обозначен угловой коэффициент касательной в точке .

Запишем для точки уравнение касательной

(1.8)

и нормали

. (1.9)

Используя (1.8), определим координаты точек и пересечения касательной с осями координат , и вычислим длины отрезков , :

а) для точки имеем:

=0 → = → = → = ; (1.10)

б) для точки имеем:

=0 → = → = → = . (1.11)

Зная координаты точки (см. (1.10)), вычислим длину подкасательной:

=

Аналогично, используя (1.9), найдем координаты точек и пересечения нормали с осями координат , и вычислим длины отрезков , :

а) для точки имеем:

=0 → = → = → = ; (1.12)

б) для точки имеем:

=0 → = → = → = .

Используя (1.12), вычислим длину поднормали = .

Рис.1.2.

Пример 1.7. Найти уравнения кривых, проходящих через точку (1,1), зная, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной к кривой в каждой точке, пропорциональна ординате точки касания. Принять коэффициент пропорциональности =2.

Решение. Пусть – произвольная точка кривой (см.рис.1.2). Считаем , так как ордината должна быть пропорциональна неотрицательной величине – длине отрезка. Условие задачи означает, что длина отрезка равна 2 , то есть, применяя формулу (1.11) для вычисления длины отрезка , =2 .

Из равенства =2 следует, что необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: ; (1.13)

▪ Случай-2: . (1.14)

Случай-1.

1) Дифференциальное уравнение (1.13) имеет решением функцию , график которой не проходит через точку (1,1).

Рис.1.3.

2) Запишем уравнение (1.13) в виде – это уравнение с разделяющимися переменными, общим решением которого является семейство гипербол . Требование означает если , то , если , то (см.рис.1.3). Точка выделяет из семейства гипербол единственную кривую.

Случай-2.

Рис.1.4.

1) Перепишем уравнение (1.14) в виде . Нетрудно получить его общее решение – семейство кубических парабол. Здесь также если , то , если , то .Кубическая парабола проходит через точку при =1 (см.рис.1.4; для значений семейство интегральных кривых не показано).

Ответ. , .

Задание 1.7. Найти уравнения кривых.

Замечания. 1) При оформлении решений заданий изобразите на рисунке 3-4 кривые из семейства, соответствующих общему решению дифференциального уравнения, и среди них выделите частное решение: линию, проходящую через заданную точку.

2) Используя кривую частного решения, покажите на чертеже касательную и подкасательную, нормаль и поднормаль для заданной точки .

1.7.1. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания: .

1.7.2. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на 2.

1.7.3. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.4. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.5. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.6. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.7. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на 4.

1.7.8. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.9. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.10. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.11. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.12. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.13. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на −2.

1.7.14. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.15. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.16. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.17. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.18. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.19. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на 2.

1.7.20. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.21. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.22. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.23. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.24. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.25. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на −2.

1.7.26. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.27. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.28. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.29. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.30. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен квадрату абсциссы точки касания, умноженной на 2.

1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для
решения задач физики и химии

Для составления дифференциального уравнения – математической модели физической (химической) задачи – часто применяют следующие способы:

1) записывают условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) определяют, какая из величин будет независимой переменной (обозначим её x), а какая зависимой (обозначим её y); затем, используя соотношения между нужными величинами при постоянных значениях параметров, находят линейное приближение для приращения когда независимая переменная получила приращение ; разделив на и переходя к пределу при , получают дифференциальное уравнение.

Для правильного составления уравнений требуется знание физических законов (первый и второй законы Ньютона, законы Кирхгофа для цепи переменного тока, закон Ньютона для скорости изменения температуры тела (см. указание 3 к заданию 1.8 и некоторые другие) в рамках стандартного курса общей физики по разделам: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество и магнетизм.

Справочный материал

Закон гравитации. Сила притяжения двух точечных (или сферически симметричных) масс и , находящихся на расстоянии друг от друга:

,

где (в системе СИ) – гравитационная постоянная.