Пространство стратегий статистика. Функция потерь

 

Задача статистика в игре состоит в том, чтобы принять некоторое решение, или выполнить какое-либо действие из совокупности решений или действий.

Обозначим возможные действия статистика через . Каждое из этих действий является чистой стратегией статистика, а множество является пространством чистых стратегий статистика.

Статистик должен уметь оценивать каждое из своих действий. Для этого он допускает, что совершая действие , он может потерпеть убыток , зависящий от неизвестного состояния природы . Функция называется функцией потерь и должна быть определена заранее для всевозможных комбинаций . То есть функция потерь задается на прямом произведении множеств . Ее можно определить или аналитически или в виде матрицы потерь:

, (3.1)

где .

Знание такой функции потерь может позволить статистику предпринять такие действия, которые являются наилучшими в условиях имеющейся у него информации о возможных состояниях природы.

Статистику обычно бывает известно априорное распределение вероятностей состояний природы, поэтому он может определить средние потери, которые он понесет, выполняя действие (выбирая стратегию) :

. (3.2)

 

Тогда наилучшим для статистика действием будет так называемое байесовское действие (решение) при котором его средние потери будут минимальны:

 

. (3.3)

 

Статистик может не ограничиваться использованием только одной чистой стратегии, а применить так называемую смешанную стратегию, представляющую «смесь» чистых стратегий в соответствии с некоторым вероятностным законом распределения:

 

.

 

В общем случае статистик располагает набором смешанных стратегий , называемых пространством смешанных стратегий статистика.

Если статистик применяет некоторую смешанную стратегию , а природа - смешанную стратегию , то средние потери статистика будут равны:

 

. (3.4)

 

И задача статистика заключается в выборе такой смешанной стратегии , которая бы минимизировала средние потери (3.4):

 

. (3.5)

где .

Отметим, что здесь мы рассмотрели простую задачу определения наилучшей стратегии статистика на основе только имеющейся априорной информации о состояниях природы, не делая попыток уточнения своих знаний о действительном состоянии природы путем проведения эксперимента.

Такие статистические игры называются еще статистическими играми без эксперимента.

 

Примеры статистических игр

 

№ 3.1. (Задача о замене оборудования). Установленное на предприятии сложное и дорогое оборудование после нескольких лет работы может оказаться в одном из трех состояний: - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта; - оборудование работоспособно, но некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или даже замены; - дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна.

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаях оно может находиться в состоянии , в 50% случаях - в состоянии , и в 30% - в состоянии .

Для предприятия возможны три различных варианта действия: - оставить оборудование в работе еще на один год, проведя незначительный ремонт своими силами; - провести капитальный ремонт оборудования с вызовом специальной бригады ремонтников; - заменить оборудование новым.

Требуется найти байесовское оптимальное решение действий предприятия при следующей матрице потерь:

 

.

 

Решение. Вычислим средние потери предприятия:

 

,

 

,

 

.

 

Тогда байесовское решение дает нам стратегия , так как

 

.

Ответ: .

 

№ 3.2. (Задача о технологической линии). На технологическую линию может поступить сырье с малым и с большим количеством примесей. Известно, что в среднем поступает 60% сырья первого вида и 40% сырья второго вида. Для использования различных видов сырья предусмотрены три режима работы технологической линии: , и . Потери, отражающие качество выпускаемой продукции и расходы сырья, в зависимости от качества сырья и режима работы технологической линии, имеют вид:

 

.

 

Требуется найти байесовское оптимальное решение.

Решение. Вычислим средние потери:

 

,

 

,

 

.

 

Тогда оптимальной является чистая стратегия , так как

 

.

Ответ: .