Закон Био – Савара – Лапласа и его применение

К расчету магнитного поля

 

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774–1862) и Ф. Саваром (1791–1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био – Савара – Лапласа для проводника с током I, элемент которого d l создает в некоторой точке А (рис. 3.4) индукцию поля d B, записывается в виде

(3.5)

где – вектор, по модулю равный длине d l элемента проводника и совпадающий по направлению с током, – радиус-вектор, проведенный из элемента d l проводника в точку А поля, r – модуль радиуса-вектора . Направление d B перпендикулярно d l и r, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d , если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Рис. 3.4

Модуль вектора d B определяется выражением

(3.6)

где – угол между векторами d и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций отдельных полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом:

(3.7)

Расчет характеристик магнитного поля ( и )по приведенным формулам в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био – Савара – Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Далее приведены два примера.

Магнитное поле прямого тока

Рис. 3.5

Рассмотрим магнитное поле тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 3.5). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»), поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами d l и r), выразив через него все остальные величины.

Из рис. 3.5 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости d l равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (3.6), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(3.8)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то:

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(3.9)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Как следует из рис. 3.6, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка, поэтому сложение векторов d можно заменить сложением их модулей.

Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то согласно (3.6)

3.10)

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

(3.11)

где R – радиус кругового тока.