Количественные методы решения многокритериальных задач

Эти методы основаны на введении единственного комплексного критерия оптимальности (функции ценности), позволяющего однозначно оценивать сравниваемые варианты. Проблема многокритериальной оптимизации при этом сводится к одноцелевой.

1. Наиболее часто используется линейная функция ценности, которая вычисляется следующим образом:

(3.9)

где i – индекс критерия оптимальности;

w_i – вес (важность) i -го критерия.

Обычно используются относительные веса, т.е. .

k _i – значение i -го критерия, если k_i – целые числа, то метод является балльным.

2. Мультипликативный критерий. При этом критерии агрегированная оценка вычисляется следующим образом:

(3.10)

Следует иметь в виду, что при построении функции ценности необходимо учитывать знак критерии. Например, если критерий учитывает отрицательно влияющие факторы (свойства), то его необходимо включать в аддитивный критерий со знаком "минус". В мультипликативных критериях при решении задач максимизации в числителе отражаются критерии, значения которых желательно увеличить, а в знаменателе - те, которые надо уменьшить. Типичными мультипликативными критериями являются рентабельность, производительность труда, фондоотдача.

Вес каждого критерия может быть определен на основе специальных исследований (например, экономико-статистических), прошлого опыта или определен ЛПР по каким-либо другим соображениям.

Особую разновидность количественных методов решения многокритериальных задач представляют те, в которых ценность альтернатив определяется не на основе агрегирования оценок по отдельным критериям (т.е. путем построения функции ценности), а путем определения меры близости решения к некоторому идеальному (так "идеальной" точке). За счет этого решения должно обеспечиваться наибольшее приближение к множеству одновременно недостижимых целей. В этом случае решается задача целевого программирования

(3.11)

где k – векторная функция отдельных критериев k_i (i =1… N);

в – N –мерный вектор, характеризующий идеальную точку, т.е. включающий желаемые значения отдельных критериев;

d – расстояние между k и в, т.е. между критериями, характеризующими полученное и идеальное решение.

Выражение (3.11) имеет конкретный содержательный смысл: оно показывает меру близости выбранной альтернативы (решения) к идеалу.

Параметры идеальной точки могут быть как установлены в виде нормативных значений (например, со стороны вышестоящей организации), так и определяться ЛПР. Часто в качестве координат идеальной точки берутся максимальные (или минимальные) значения отдельных критериев. В этом случае идеальная точка соответствует наилучшему достижению одновременно всех поставленных целей.