Частные производные высших порядков.

Требуется выразить его через частные производные функции и приращения ее аргументов. Прибавим и отнимем в правой части полного приращения выражение f(x;y+ Δy ) и сгруппируем в виде Δ z=[f(x+ Δ x;y+ Δy )-f(x;y+ Δy )]+[f(x+ Δ x;y+ Δy )-f(x;y)]. ко второй разности применим теорему Лагранжа как к функции одной переменной у, так как х считается постоянной величиной.Также для первой разности считая функцию от х, применим ту же теорему. И так как по условию частные производные непрерыны, то существуют и их пределы.

Тогда из основной теоремы о пределе и бесконечно малой имеем где и бесконечно малые более высокого порядка, чем Δ x и Δ y. Тогда полное приращение равно:

Полное приращение оказалось линейным относительно Δ x и Δy

Определение. Главная часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается:

Если существует полный дифференциал, то функция дифференцируемая. Так как бесконечно малые и стремятся к нулю, то полное приращение приближенно равно полному дифференциалу В связи с тем, что х,у независимые переменные, приращения Δ x, Δ у можно принять за дифференциалы функции dx,dy. Тогда окончательно получим (1) Предположим что дана функция n переменных u = f (x;y;z;…..;t), тогда аналогично формуле (1) ее полный дифф-л выражается формулой (*):

(*)

Полный дифф-л функции нескольких переменных равен сумме частных производных, умноженных на дифф-лы соответствующих переменных.

24 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы полного дифференциала.

Рассмотрим полный дифференциал функции двух переменных

Определение. Полный дифференциал дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка:

Используя формулу полного дифф-ла и дифференцируя как произведения, получим

Итак,(*) Если переменные х,у независимые, то в выражении (*) последние четыре члена обратятся в ноль, так как производные и дифф-лы от dx, от dy равны нулю. Но если функция z сложная, то х;у зависят от других независимых переменных, то для дифф-ла второго порядка используется формула (*). Мы же будем в дальнейшем рассматривать функцию двух переменных, где х,у независимые. Поэтому дифф-л второго порядка представляется в виде.

Найдем третий дифф-л

Перепишем дифф-л третьего порядка в виде

Здесь под степенью при раскрытии скобки подразумевается порядок производной и под произведением различных степеней подразумевается смешанная производная различных порядков функции. Дифф-лы высших порядков для функции двух независимых переменных символически напоминают бином. Таким образом, по аналогии