Модуль 4. Аффинные и проективные пространства. Тензоры

59. Определение и простейшие свойства аффинных пространств.Примеры. Изоморфизм аффинных пространств одной размерности.

60. Система координат в аффинном пространстве. Формулы перехода от одной системы к другой.

61. Аффинные подпространства, их взаимное расположение. Размерность аффинной оболочки двух аффинных подпространств.

62. Задание аффинного подпространства как множества решений СЛАУ.

63. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты.

64. Симплексы. Выпуклые множества.

65. Аффинное отображение. Его матрица, изменение матрицы при переходе к новой системе координат. Действие аффинного преобразования на точке.

66. Аффинная группа и ее подгруппы.

67. Аффинное евклидово пространство, расстояние между двумя аффинными подпространствами.

68. Движения и аффинные ортогональные операторы.

69. Разложение движения аффинного евклидова пространства в произведение движения с неподвижной точкой и сдвига. Следствия для двумерного и трехмерного аффинного евклидова пространства.

70. Аффинно-квадратичные функции, их матрицы, изменение при замене координат. Условие центральности аффинно-квадратичной функции.

71. Приведение аффинно-квадратичной функции к нормальному виду и к главным осям.

72. Аффинные квадрики и их классификация.

73. Строение аффинного преобразования плоскости и пространства.

74. Модели проективной плоскости.

75. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

76. Проективные преобразования проективной плоскости. Действие проективного оператора на четырех точках.

77. Кривые второго порядка на проективной плоскости.

78. Полилинейные функции. Изменение коэффициентов полилинейной функции при переходе к другому базису.

79. Определение тензора. Примеры. Размерность пространства тензоров типа .

80. Операция тензорного произведения и его свойства. Тензорная алгебра векторного пространства.

81. Симметрические тензоры. Операция симметрирования.

82. Кососимметрические тензоры. Операция альтернирования.

83. Другие операции над тензорами.

Контрольные мероприятия

Модуль 1. Линейные пространства. Линейные функции (4 неделя, максимум 10 баллов, минимум 5 баллов).

Рубежный контроль по модулю 1 (4 неделя).

Модуль 2. Евклидовы пространства. Билинейные и квадратичные функции (7 неделя, максимум 12 баллов, минимум 6 баллов).

Рубежный контроль по модулю 2 (7 неделя).

Модуль 3: Линейные операторы (11 неделя, максимум 26 баллов, минимум 14 баллов)

Рубежный контроль по модулю 3 (11 неделя).

Модуль 4. Аффинные и проективные пространства. Тензоры (17 неделя, максимум 12 баллов, минимум 6 баллов).

Рубежный контроль по модулю 4 (17 неделя).

Экзамен максимум 30 баллов, минимум 15 баллов.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

для ИУ9

Литература

Основная литература (ОЛ)

Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 528 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VI).

Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 456с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. V).

Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. – М.: Наука, 1981. – 544с.

Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. – 408с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. II).

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977. – 528с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу. / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Под общ. ред. В. А. Садовничего. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 416с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П.Демидовича. – М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 1999. – 695с.

Дополнительная литература (ДЛ)

Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Соболев С. К. и др. – Т. 3. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 237с.

Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967. – 252с.

Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ: введение в анализ, производная интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т. 1. – М.: Едиториал УРСС, 2001. – 360с.

Неструев Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые. – М.: МЦНМО, 2000. – 300с.

Рудин У. Основы математического анализа. – М.: Мир, 1978. – 320с.