Основные виды шумов в полупроводниковых приборах. Метод Ланжевена

Этот метод применяется для определения шумовых свойств различных электрических цепей. Его сущность заключается в том, что записывается мак­роскопическое уравнение, описывающее кинетические свойства, рассматри­ваемой системы. В правую часть этого уравнения вводится случайная возму­щающая функция H(t), которая описывает флуктуации в системе. Хотя H(t) неизвестно, обычно можно получить достаточно информации о системе, чтобы рассчитать спектральные плотности флуктуаций. Покажем это на конкретных примерах.

Тепловой шум. Рассмотрим RL-цепочку с источником теплового шума напряжением H(t), создаваемого сопротивлением R (см. рис. 47). Дифферен-циальное уравнение Ланжеве- на в этом случае будет иметь вид:

Ld- ₊ R • i = H(t). (6.2)

Для диапазона времени 0 < t < T разложим H(t) и i(t) в ряды Фурье:

H(t) = Z an ■ exp(j®_nt);

П =—ж

ж

i(t) = Z Pn • exp(j®J).

n=—ж

Здесь c_n =. Подставляя Фурье-разложения в основное уравнение (6.2) и d

учитывая, что — = j c_n, получим

^pn = j (⁶-³⁾

По определению спектральной плотности

SH(f) = lim 2Tan • an*;

T ^ж

Si(f) = lim 2TPn • Pn *. (6.4)

T ^ж

Теперь подставим в выражение (6.4) значения коэффициентов Фурье- разложения тока по (6.3) и получим связь между спектральными плотностями шумового тока и шумового напряжения в рассматриваемой цепи в виде

s,_(t) = Rf.

R ^[1] + со L²

S(f) =

Так как шумовое напряжение на сопротивлении H(t) есть белый шум, то его значение должно быть одинаково на любой частоте, включая нулевую частоту: SH(f) = sh(0). Тогда можно записать

SH(f) = Sh( 0 ) R² + c²L² R² + C²L²'

Ц.

Теперь задача сводится к отысканию sh(0). Для этого рассчитаем i

Из теоремы о равномерном распределении энергии по элементам схемы из­вестно, что запасенная энергия в индуктивности в точности равна тепловой энергии в сопротивлении

. i² kT Т2 kT

L— = — или i = —.

2 2 L

Подставляя в выражение (6.5) найденное выражение дисперсии шумового тока по (6.6), получим:

(6.7)

R

S_H(0) = 4kTR; S_i(f) = 4kT ■

R² ₊ co²L²

Первое соотношение в (6.7) известно как теорема Найквиста - мы его получали из общих соображений в п. 6.1. Оно говорит о том, что уровень теплового шума (квадрат дисперсии шумового напряжения) зависит только от величины сопро­тивления и его температуры. К диэлектрикам это соотношение неприменимо.

(6.6)

Второе выражение (6.7) определяет спектральную плотность шумового тока, протекающего в рассматриваемой цепи. Оно легко выводится из теоремы Найквиста с использованием теории линейных цепей. На рис. 48 показаны частотные зависимо­сти напряжения теплового шума (кривая 1) и напряжения шума (кривая 2), из­меряемого на активном сопротивлении R в цепи рис. 47.

Генерационно-рекомбинационный шум. Возникновение и исчезновение носителей заряда в образце полупроводника из-за процессов их случайной ге­

нерации и рекомбинации можно описать дифференциальным уравнением

 

(6.8)

т

dAN AN

 

где AN - общее число флуктуирующих носителей, H(t) - случайное воздейст­вие, т - время жизни неравновесных носителей заряда.

Для того чтобы определить спектральную плотность ГР-шума, поступим следующим образом. Обратим внимание на то, что данное уравнение по своей структуре полностью аналогично уравнению (6.2). Поэтому можно не решать уравнение (6.8), а воспользоваться уже имеющимся решением уравнения (6.2). По аналогии с выражением (6.7) для ГР-шума будем иметь:

S_N(f) = Sh(0). (6.9)

1 + с²т²

Найдем спектральную плотность шума на нулевой частоте. Для этого опреде­лим дисперсию числа носителей заряда через SN(f). По определению диспер­сии

— 2 ^{ж ж} _т ■ df 1 AN² = J SN(f)df = Sh(0 ) ■ J ^r r r =¹ SH(0 ) ■т. 0 01 + с²т^{2 4}

Отсюда найдем искомую спектральную плотность на нулевой частоте и подста­вим ее в выражение (6.9). Тогда для этого вида шума будем иметь

SN(f)=AN² —. (6.10)

1 + с²т²

Таким образом, частотный спектр ГР-шума SN(f) можно считать известным, если определены: среднее время жизни неравновесных носителей заряда в дан-

ном полупроводнике т и дисперсия флуктуаций числа носителей AN². По­следняя величина определяется ГР-механизмом носителей заряда и уровнем легирования. Как следует из выражения (6.10), частотная зависимость спек­тральной плотности ГР-шума представляет собой полочку на низких частотах

(с <<1/т) величиной, определяемой дисперсией числа носителей AN² и сред­ним временем жизни носителей заряда в полупроводнике. На высоких частотах (с >>1/т) спектральная плотность убывает по закону 1/С². В целом поведение кривой SN(f) аналогично показанному кривой 2 на рис. 46, но с заменой часто­ты среза на значение 1/т.

Дробовой шум. Этот тип шума наблюдается во всех физических системах, где есть поток независимых частиц. Представим себе поток таких частиц (на­пример, излучаемых нагретым катодом электронов), у которых вероятность ис­пускания каждой последующей частицы не зависит от испускания предыдущей. Такие события называются марковскими. Пусть регистрация этих частиц про­изводится прибором с полосой пропускания Af. Тогда в соответствии с теоре­мой Котельникова (теорема отсчетов) для извлечения полной информации о потоке пролетающих частиц отсчеты должны производиться через интервалы времени т = 1/2nAf. Разобьем ось времени на интервалы длительностью т. Тогда величину потока частиц можно определить из соотношения:

Fo = n_T / т,

где п_т - среднее число частиц, проходящих через прибор за время т. Если час­тица заряжена, то данным потоком создается электрический ток

i o = — q •

т

й

Поскольку поток состоит из независимых частиц, то средне­квадратичное отклонение числа частиц от среднего значения за время наблю­

дения должно подчиняться закону Пуассона, для которого (п_т - п_т)² = An2 = n Следовательно,

Я

__ 2 ------------------ 2

,2 = ^An2 _q2 = ^пт _q2 = _F q² =, q = _{2q I A f}

й =— 2" ^q =—2' ^q = ^F0 ---------- = ^I0~ = ^2q-I0 • ^Af■

2 2

Таким образом, дробовой шум, представленный генератором тока, равен:

Й = 2q • I0 • Af.

Из этого выражения следует, что дробовой шум является «белым». Однако, ес­ли частота измерений сравнима с величиной, обратной времени пролета частиц через область регистрации пр (вакуумный промежуток в лампе, область про­
странственного заряда в фотодиодах), то спектральная плотность дробового шума становится зависящей от частоты по закону:

n2

_ _2q, ^sin [ятпрр)

'щ¹' '

Множитель в круглых скобках описывает частотную характеристику межэлек­тродного промежутка и представляет собой частотный спектр прямоугольного импульса. В качестве такового выступает импульс тока, вызванный пролетом электрона через область регистрации.