Корреляционный анализ опытных данных

6. Дисперсионный анализ опытных данных

7. Основные понятия и определения планирования эксперимента

Планирование эксперимента – процедура выбора количества экспериментов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Факторами называются величины, которые экспериментатор изменяет по своему усмотрению. Факторы – вектора.

I=F^T∙F – информационная матрица плана [x]. C=I^-1 – ковариационная матрица плана [x]/

План эксперимента называется ортогональным, если информационная матрица диагональная

Ортогональные планы используются, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует данные для отбора переменных, которые существенно влияют на выходную величину.

План называется центральным, если его центр расположен в начале координат.

Матрица I – диагональная => план ортогональный.

Композитностью плана называется свойство плана, позволяющее разделить эксперимент на несколько этапов и постепенно переходить от простых моделей к более сложным, используя предыдущие наблюдения.

Насыщенность плана – связь между количеством факторов М и опытов N, если N<M, то нельзя найти ед. значения коэффициентов модели [a_e].

Критерий оптимальности плана.

1-я группа – следит за точностью экспериментов модели. [a_e] – оценивает точность коэффициентов модели. D, A, E – оптимальность.

2-я группа – оценивает точность предсказания по модели η. G, Q – оптимальность.

3-я группа – связана со стратегией эксперимента

Коэффициенты модели случайной величины имеют доверительный интервал.

D – оптимальные планы – называются планы, которые соответствуют min определителю по ковариационной матрице.

С=I^-1=(F^T∙F)^-1

min|c|

Определитель ковариационной матрицы пропорционален объему эллипсоида рассеивания коэф. модели.

А – оптимальные планы – это планы, которым соответствует минимальный след ковариационной матрицы.

(след): SpurC=С₁₁+С₂₂+С₃₃+С_LL

А – оптимальные планы обеспечивают минимум средней дисперсии коэффициентов модели.

Е – оптимальный план – соответствует собственному значению ковариационной матрицы.

λ – собственное значение матрицы С. Система уравнений С∙x, в этой системе матрицу можно заменить числом, расположенным по диагонали – это собственное значение матрицы.

Е – оптимальные планы не позволяют дисперсиям отдельных коэффициентов моделей иметь недопустимо большие размеры.

G – оптимальные планы – минимизируют максимально возможную дисперсию предсказания от модели: min (maxD(η)). Эти планы гарантируют, что в области эксперимента нет точек, которые имеют низкую точность вычисления по модели.

Q – оптимальные планы – минимизируют среднюю дисперсию предсказания. minD_cp(η), D_cp – средняя дисперсия.

Построить планы, удовлетворяющие одновременно нескольким критериям оптимальности можно только для простых моделей, поэтому используют планы, построенные на компромиссном решении, близкие к оптимальным планам по разным критериям. Такие планы называются робастные планы.

е^(D), е^(A), е^(E), е^(Q) и т.д. – коэффициенты. Чем ближе произв. план к оптимальному оценивают коэффициенты е.

План полного факторного эксперимента

Планирование эксперимента – процедура выбора количества экспериментов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Факторами называются величины, которые экспериментатор изменяет по своему усмотрению. Факторы – вектора.

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, при котором реализуются все возможные сочетания уровней варьирования.

Свойства полного факторного плана эксперимента.

1. Симметричность относительно центра эксперимента: Алгебраическая сумма элементов вектора столбца каждого фактора равна нулю.

2. Ортогональность матрицы планирования: Сумма произведений элементов любых двух векторных столбцов равна нулю.

3. Условие нормировки: Сумма квадратов элементов столбца каждого фактора равна количеству опытов.

4. Точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления

9. Классификация планов эксперимента

Планирование эксперимента – процедура выбора количества экспериментов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Факторами называются величины, которые экспериментатор изменяет по своему усмотрению. Факторы – вектора.

I=F^T∙F – информационная матрица плана [x]. C=I^-1 – ковариационная матрица плана [x]/

План эксперимента называется ортогональным, если информационная матрица диагональная

Ортогональные планы используются, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует данные для отбора переменных, которые существенно влияют на выходную величину.

План называется центральным, если его центр расположен в начале координат.

Матрица I – диагональная => план ортогональный.

Композитностью плана называется свойство плана, позволяющее разделить эксперимент на несколько этапов и постепенно переходить от простых моделей к более сложным, используя предыдущие наблюдения.

Насыщенность плана – связь между количеством факторов М и опытов N, если N<M, то нельзя найти ед. значения коэффициентов модели [a_e].

Критерий оптимальности плана.

1-я группа – следит за точностью экспериментов модели. [a_e] – оценивает точность коэффициентов модели. D, A, E – оптимальность.

2-я группа – оценивает точность предсказания по модели η. G, Q – оптимальность.

3-я группа – связана со стратегией эксперимента

Коэффициенты модели случайной величины имеют доверительный интервал.

D – оптимальные планы – называются планы, которые соответствуют min определителю по ковариационной матрице.

С=I^-1=(F^T∙F)^-1

min|c|

Определитель ковариационной матрицы пропорционален объему эллипсоида рассеивания коэф. модели.

А – оптимальные планы – это планы, которым соответствует минимальный след ковариационной матрицы.

(след): SpurC=С₁₁+С₂₂+С₃₃+С_LL

А – оптимальные планы обеспечивают минимум средней дисперсии коэффициентов модели.

Е – оптимальный план – соответствует собственному значению ковариационной матрицы.

λ – собственное значение матрицы С. Система уравнений С∙x, в этой системе матрицу можно заменить числом, расположенным по диагонали – это собственное значение матрицы.

Е – оптимальные планы не позволяют дисперсиям отдельных коэффициентов моделей иметь недопустимо большие размеры.

G – оптимальные планы – минимизируют максимально возможную дисперсию предсказания от модели: min (maxD(η)). Эти планы гарантируют, что в области эксперимента нет точек, которые имеют низкую точность вычисления по модели.

Q – оптимальные планы – минимизируют среднюю дисперсию предсказания. minD_cp(η), D_cp – средняя дисперсия.

Построить планы, удовлетворяющие одновременно нескольким критериям оптимальности можно только для простых моделей, поэтому используют планы, построенные на компромиссном решении, близкие к оптимальным планам по разным критериям. Такие планы называются робастные планы.

е^(D), е^(A), е^(E), е^(Q) и т.д. – коэффициенты. Чем ближе произв. план к оптимальному оценивают коэффициенты е.

10. Критерии оптимальности планов эксперимента.

11. Построение линейных и квазилинейных уравнений регрессии на базе планирования эксперимента