Основные положения классической механик

Термины и определения. В механике выделяют кинематику и динамику. Кинематика описывает движение частиц и тел, не рассматривая вопрос о причинах движения, динамика же выясня­ет эти причины — действие сил. При описании движения в меха­нике отвлекаются от несущественных деталей, идеализируют задачу. Такими идеализированными понятиями являются понятия материальной точки и абсолютного твердого тела.

Материальная точка (частица) - тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Свободной называ­ется частица, не подверженная действию никаких других частиц и тел. Абсолютно твердое тело (твердое тело) — система жестко свя­занных материальных точек, т. е. тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь.

Механическое движение частицы (тела) может быть определе­но только по отношению к другому телу — телу отсчета. Совокуп­ность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов называется системой отсчета.

Основы кинематики. Описание движения частиц. Положение частицы в некоторой точке А может быть задано радиус-вектором (МП 2.1)* (* Необходимые сведения из математики приведены в разделе 2.1. математического приложения (МП)), приведенным из неподвижной точки О (начала координат выбранной системы отсчета) к точке А (рис. 1.1). Задание радиус-вектора эквивалентно заданию трех скалярных величин х, у, z. При движении частицы ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Геометрическое место концов радиус-вектора называется траекторией движения (рис. 1.2). За некоторое время ∆t частица проходит определенный путь s — участок траектории.

Перемещение частицы есть приращение радиус-вектора за время . Перемещение в отли­чие от пути s — вектор. Отношение определяет среднюю скорость за время ∆t. Мгновенная скорость, т. е. скорость в данный момент времени, определяется как производная (МП 3.1). Вторая производная по времени от перемещения определяет ускорение частицы :

.

 

 

Рис. 1.1. Рис. 1.2.

 

Таким образом, зная одну из кинематических характеристик, например ускорение, можно определить и другие характеристики движения. Для этого, однако, надо знать так называемые на­чальные условия, а именно, скорость и радиус-вектор о частицы в некоторый начальный момент времени t = 0.

Рассмотрим равноускоренное движение. Пусть заданы значение и начальные условия и .

Тогда приращение скорости за некоторое время t определяется интегралом (МП 3.2):

,

а скорость

. (1.1)

Приращение радиус-вектора за то же время

,

а радиус-вектор определяется как

. (1.2)

Описание движения твердого тела. Поступательное движение. Поступательным называется движение твердого тела, при кото­ром любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению. Все частицы твердого тела за одинаковые промежутки времени совершают равные по величине и направлению перемещения, т. е. их скорости и ускорения оди­наковы. Таким образом, описание поступательного движения твердого тела сводится к описанию движения любой отдельной его частицы.

Вращательное движение. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.3).За малый интервал времени dt частица А тела совершает поворот на угол dφ. Поворот характеризуется вектором , направ­ление которого связано с направлением поворота правилом правого винта.

Элементарное перемещение частицы А при повороте на угол dφ определится как

,

или в векторном виде как. векторное произведение (МП 2.2)

. (1.3)

Угловая скорость и угловое ускорение также опреде­ляются путем дифференцирования по времени:

; .

Векторы и совпадают по направлению с .

 

 

Рис. 1.3.

Связь между линейными и угловыми величинами. Определим линейную скорость частицы А твердого тела, совершающею вращательное движение, вокруг оси (см. рис. 1.3). Поделим правую и левую части формулы (1.3) на dt:

; ,

тогда

. (1.4)

Модуль вектора (1.4) — ω R, где R – радиус окружности, по которой движется частица А.

Основы динамики. Инерциальные системы отсчета. Наиболее удобны для описания механического движения системы отсчета, связанные с какими-либо свободно движущимися телами. Такие системы отсчета называются инерциальными. Относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) свободная частица движет­ся прямолинейно и равномерно (по инерции). Это утверждение называется законом инерции или первым законом Ньютона. Су­ществует бесчисленное множество ИСО, так как инерциальной является любая система отсчета, движущаяся равномерно и пря­молинейно относительно какой-либо ИСО.

Принцип относительности Галилея. Согласно этому принципу все ИСО по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу, механические явления в них протекают одинаково. Это означает, что никакими механическими опытами, проводимыми “внутри” данной ИСО, нельзя выяснить, покоится ли система или движется. Принцип относительности Галилея - один из важнейших принципов классической механики.

Переход из одной ИСО в другую в классической механике осуществляется с помощью преобразования Галилея. Пусть имеем две инерциальные системы отсчета (рис. 1.4), причем штрихован­ная система отсчета { + часы) движется относительно системы XYZ со скоростью , направленной вдоль оси X. Тогда координаты любой точки и время событий в этих системах отсчета связаны очевидными -соотношениями, которые называются преобразованиями Галилея:

; ; (1.5)

Равенство выражает абсолютность времени, т. е. незави­симость его от выбора инерциальной системы отсчета. Из (1.5) следует, что и , т. е. размеры тел и ход времени не зависит от движения тел. Предположим, что точка движется вдоль оси со скоростью . Тогда ее скорость в системе XYZ равна .

 

 

Рис. 1.4. Рис. 1.5.

 

В общем случае (рис. 1.5)

(1.6)

Продифференцировав (1.6) с учетом , получим, что , т. е. ускорение частицы во всех ЙСО одинаково.

Сила и масса. Импульс. Сила есть мера механического взаимо­действия частиц и тел. Взаимодействие по классическим пред­ставлениям осуществляется посредством создаваемых взаимо­действующими телами физических силовых полей, 3 макромире существенны лишь гравитационное и электромагнитное поля. В механике вопрос о природе сил не рассматривается. Действие силы вызывает движение частиц и тел и приводит к деформации тел. Силы удобно сравнивать по ускорениям, приобретаемым одним и тем же телом под действием различных сил. Если под действием силы тело получает ускорение , а силы , то

. (1.7)

Опыт показывает, что отношение F/a для данного тела постоянно и характеризует его инертность. Количественная характеристика инертности называется массой. Из (1.7) следует, что при одинаковой силе отношение масс двух тел обратно пропорционально отношению ускорений, приобретаемых телами

. (1.8)

В классической механике масса при движении тела полагается неизменной. Произведение массы частицы на ее скорость называется импульсом частицы :

.

Основные законы динамик. Выводы га опытов, выраженные формулами (1.7) и (1.8), обобщаются вторым законом Ньютона: ускорение частицы в ИСО прямо пропорционально действующей на нее силе к обратно пропорционально ее массе:

. (1.9)

Под силой в общем случае подразумевается равнодействую­щая всех приложенных к частице сил.

Трелей закон Ньютона утверждает, что всякое действие тел друг на друга есть взаимодействие. Две частицы действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными:

. (1.10)

Отметим, что для выполнения третьего закона Ньютона, т. е. равенства сил в любой момент времени независимо от движения частиц необходимо, чтобы взаимодействия распространялись мгновенно, т. е. с бесконечно большой скоростью. Это положе­ние называется принципом дальнодействия. На самом деле это не так. Существует конечная максимальная скорость распростране­ния взаимодействия ~ скорость света в вакууме. Поэтому второй и третий законы Ньютона применимы лишь к движениям с относительно небольшими скоростями (много меньшими скорости света с). Из законов Ньютона могут быть выведены все остальные законы классической механика.

Выражение (1.9) можно записать как или

, (1.11)

где - импульс частицы.

При .

Из (1.11) следует, что элементарное приращение импульса . Проинтегрировав это выражение за конечный интервал времени t, получим, что изменение импульса за t равно:

. (1.12)

Интеграл в правой части (1.12) называется импульсом силы. Очевидно, что при , . Выражения (1.9), (1.11) и (1.12) представляют различные формы записи основного уравне­ния динамики частицы. Решение этого дифференциального урав­нения позволяет определить закон движения частицы (т. е. зави­симость от времени ее радиус-вектора) или найти по известному закону движения закон изменения во времени действующей на частицу силы (или ее импульса).