Понятие предела функции, свойства

Пусть функция задана на интервале .

 

Определение:

Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию выполнено: .

 

Определение:

Число называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке , если для любого числа существует такое, что для любого выполнено: .

 

Обозначение:

§ (для левостороннего предела);

§ (для правостороннего предела).

Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах:

1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правосторонний и левосторонний пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

2. Арифметические действия над пределами:

Если и , то справедливы утверждения:

§ ;

§ ;

§ , при условии, что .

1. Первый замечательный предел:

. (1.1)

2. Второй замечательный предел:

или . (1.2)

 

Раскрытие некоторых видов неопределенностей

Начинать нахождение предела надо с подстановки в функцию предельного значения аргумента. При этом можем получить неопределенности вида:

.

1. Неопределенность вида (в числителе и знаменателе – многочлены).

Примеры такого вида решаются путем почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной, при этом:

а) если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Пример № 1.

,

(т.к. при )

б) если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности:

Пример № 2.

,

(т.к. в пределе получили отношение конечного к бесконечно малому).

 

в) если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю:

Пример № 3.

.

2. Неопределенность вида .

а) В числителе и знаменателе – многочлены. Надо разложить числитель и знаменатель на множители, с целью выделения критического множителя, т.е. множителя, который порождает неопределенность.

Пример № 4.

.

б) Выражение содержит иррациональность в числителе или знаменателе дроби (или и в числителе и в знаменателе).

Примеры такого вида решаются путем домножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю (знаменателю или и числителю и знаменателю одновременно).

Пример № 5.

 

;

Пример № 6.

.

Пример № 7.

Вычислить: .

Решение.

Вычислим, используя первый замечательный предел . Пусть , тогда . Если , то . Используя эту замену, имеем:

.

Пример № 8.

Вычислить: .

Решение.

Используя тригонометрическое преобразование, имеем:

.

Пример № 9.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.

Используя тригонометрические преобразования, имеем:

.

3. Неопределенность вида . Раскрывается с помощью второго замечательного предела.

.

Пример № 10.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.

Для решения используем второй замечательный предел . Имеем:

.

Сделаем замену . Т. к. , то и . Тогда:

.

Отсюда:

.

Пример № 11.

Вычислить: (неопределенность ).

Решение.